尤里斯·亨利·龐加萊等

科學(xué)家們相信，他們可以根據(jù)物質(zhì)世界的形態(tài)，用數(shù)學(xué)的方法清晰地勾勒出世界的過去和未來。19世紀(jì)末，這種精確的宇宙觀受到了質(zhì)疑。巴黎索伯大學(xué)的數(shù)理教授亨利·龐加萊致力于研究簡化了的太陽系(僅僅包括太陽、地球和月亮)，他試圖解答所謂的“三體問題”。1903年，龐加萊指出，由于受牛頓重力和運(yùn)動定律的影響，即使如此簡單的動力體系也以非常復(fù)雜和不可預(yù)測的方式在不停地運(yùn)轉(zhuǎn)。在最初條件下的一個小小的變化會導(dǎo)致巨大的差異成為混沌理論的基礎(chǔ)。

1961年，艾德瓦德·洛倫茲偶然發(fā)現(xiàn)了計算機(jī)大氣層模型中出現(xiàn)異常的混亂狀態(tài)。最初的條件中出現(xiàn)的微小變化，使得長期天氣預(yù)報變得毫無用處，這種現(xiàn)象被稱作“蝶型效應(yīng)”。20世紀(jì)70年代，比納·曼德爾布羅特將該理論運(yùn)用到不規(guī)則幾何學(xué)中。經(jīng)典物理學(xué)中行星的橢圓形軌道被看做是吸引子，但是在混沌系統(tǒng)內(nèi)吸引子的形狀是不規(guī)則的圖形，于是不規(guī)則圖形同混沌運(yùn)動建立起了聯(lián)系。

實際上，大多數(shù)真實世界表現(xiàn)出混沌的行為。但這并不是說它是任意的，而是說它潛在的模式比我們事先假設(shè)的復(fù)雜得多。目前不規(guī)則和混沌理論已經(jīng)成為一個更龐大體系的分支，這個體系包括人工智能、細(xì)胞自動裝置、遺傳規(guī)則系統(tǒng)。計算機(jī)模擬使人們對大氣湍流、股市波動等現(xiàn)象有了更為清晰的認(rèn)識?；煦缦到y(tǒng)既是確定的又是不可預(yù)測的——只有當(dāng)我們接近它時，我們才真正了解未來。

氣象預(yù)報(1920年)

維海姆·弗里曼·卡倫·皮葉克尼斯雅格布·奧爾·波奈維·皮葉克尼斯

維海姆·弗里曼·卡倫·皮葉克尼斯對天氣非常著迷，他相信有一天可以通過數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確地描述它。他認(rèn)為把當(dāng)前的天氣數(shù)據(jù)輸入模型，就可以預(yù)報天氣了。但是，當(dāng)時的皮葉克尼斯面臨著巨大的挑戰(zhàn)，因為天氣受到不斷變化的溫度、地點(diǎn)等多種因素的影響。

1904年，在綜合了流體動力學(xué)和熱動力學(xué)的基礎(chǔ)上，他又提出新的理論解決壓力變化問題。他依靠數(shù)學(xué)模型建立起目前仍在使用的數(shù)字天氣預(yù)報規(guī)則。然而，他的方程式過于復(fù)雜，難以手工運(yùn)算，后來隨著計算技術(shù)的進(jìn)步這一難題才得以解決。

第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束后，他同兒子雅格布·奧爾·波奈維·皮葉克尼斯一起指出，地球中緯度地區(qū)氣旋的形成是由于冷熱氣團(tuán)相互作用的結(jié)果。他們借用戰(zhàn)場上的術(shù)語將氣團(tuán)交界處稱作“冷風(fēng)”和“暖風(fēng)”。他們也是最早發(fā)現(xiàn)大多數(shù)天氣活動源自這一地帶的科學(xué)家。該理論被稱作“極面理論”，并且成為現(xiàn)代氣象預(yù)報的基礎(chǔ)。

不規(guī)則碎片形(1975年)

波努瓦·曼德爾布羅特

1975年，波努瓦·曼德爾布羅特用法語發(fā)表了具有重大意義的《自然不規(guī)則碎片形幾何學(xué)》，集大量各類數(shù)學(xué)上的疑問于一致的框架中，標(biāo)志著20多年研究的頂點(diǎn)。他用“不規(guī)則碎片形”一詞，描述通過計算機(jī)生成的幾何風(fēng)景的片段性和不規(guī)則性。

不規(guī)則碎片形的一個重要特點(diǎn)是，它們在可變數(shù)值范圍內(nèi)自我相似——結(jié)構(gòu)的一小部分與整體非常相似。如果我們看一下地圖上的海岸線，就會發(fā)現(xiàn)它看起來彎彎曲曲，起伏很大。如果我們反復(fù)將其放大，就能更詳細(xì)地看清，每一部分放大的圖形都保持“彎曲”的特點(diǎn)，構(gòu)成基本的海岸線幾何。在不規(guī)則碎片形中，自我相似的形成靠的是一套數(shù)學(xué)法則或“算法”。我們不用這些法則或算法繪圖，而是用其形成數(shù)字序列，每一個數(shù)字在反饋回算法中產(chǎn)生下一個數(shù)字。20世紀(jì)的最初10年，法國數(shù)學(xué)家家斯頓·朱莉婭和皮埃爾·法圖就發(fā)現(xiàn)了這種看似隨意的數(shù)字序列。直到曼德爾布羅特研制出計算機(jī)繪圖程序人們才發(fā)現(xiàn)這些序列絕不是隨意的，而是包含詳細(xì)的錯綜復(fù)雜的數(shù)字。

不規(guī)則碎片形的另一個特點(diǎn)是碎片維數(shù)。英國海岸線的長度取決于測量的準(zhǔn)確度，從理論上講，如果我們能夠不斷放大，總長度就會更靠近極限，接近無窮大，而國土的面積仍在規(guī)定限度之內(nèi)?！皬澢钡乃较薅撕０毒€的“碎片維數(shù)”，應(yīng)該是大于1而小于2。這一新幾何學(xué)無處不在。不規(guī)則碎片形和自我相似存在于植物的結(jié)構(gòu)、云的構(gòu)成、股票市場的波動和星系群的分布中。

混沌世界的邊緣(1987年)

普·巴克唐超科特·威森費(fèi)爾德

如果物理學(xué)定律簡單，為什么世界復(fù)雜?約翰·霍頓·康威于1977年發(fā)明計算機(jī)珍品游戲“生命游戲”，布滿網(wǎng)格的正方形依照無聲、機(jī)械的規(guī)則每時每刻都在變換顏色。而出現(xiàn)的卻是一個不斷變化的令人吃驚的新奇世界。在計算機(jī)上操縱這種“網(wǎng)格自動機(jī)”游戲，隨著屏幕開始閃爍，便會出現(xiàn)繁榮的生態(tài)系統(tǒng)。各種顏色永遠(yuǎn)不會停止變換，“動物們”甚至開始游過屏幕，一舉一動好像是活的能呼吸的生命?？低O(shè)計的游戲是數(shù)學(xué)奇跡，說明一個道理——在一個水平面上枯燥無意的規(guī)則在另一個水平面上會形成引人入勝、栩栩如生的綜合體。這是一個令人吃驚的寓意深刻的經(jīng)驗。

在其后20年，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)從一堆糧食到地殼、地球的生態(tài)系統(tǒng)，甚至金融市場等各種體系的運(yùn)作方式都非常類似康威游戲。這些體系及許多其他體系往往“自我組織”成大家都熟知的“臨界狀態(tài)”——一種以不停的波動和極度不穩(wěn)定為典型特點(diǎn)的自然狀態(tài)。任何處于臨界狀態(tài)的事情總是在瀕于突然的根本變化時達(dá)到平衡，而且?guī)缀醪豢赡茴A(yù)測其后會發(fā)生什么事情。1987年。普·巴克、唐超和科特·威森費(fèi)爾德首次提出“自我組織的臨界狀態(tài)”概念，為我們的世界多數(shù)地方復(fù)雜喧囂的特點(diǎn)提供了全面解釋。想想突發(fā)森林大火會導(dǎo)致大量生物消亡，從而改變生物進(jìn)化進(jìn)程甚至人類歷史本身的特點(diǎn)，這可能就像自然法則一樣，未來必定會被完全無法預(yù)見的突變不斷地打斷。