沈國平

隨著課改的不斷推進，在課堂教學(xué)方面最顯著的變化是學(xué)生主體地位的確立和學(xué)習(xí)方式的改變。讓學(xué)生積極、主動地參與學(xué)習(xí)活動被一線教師認(rèn)同且廣泛采用。數(shù)學(xué)新課標(biāo)特別提出，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，教師應(yīng)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

遵照新課標(biāo)的教育理念，學(xué)生應(yīng)該通過充滿探索的數(shù)學(xué)活動過程來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)問題的提出、數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得和應(yīng)用，從活動中感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，增進學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。

一、從促進學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程的角度設(shè)計數(shù)學(xué)活動

數(shù)學(xué)活動不是一般的活動，而是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的活動。所謂數(shù)學(xué)化，就是人們運用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的過程。

如在“有理數(shù)加法”的教學(xué)中，可以根據(jù)教材的數(shù)學(xué)材料設(shè)計成小組合作探究形式的數(shù)學(xué)活動。學(xué)生通過討論把表1中五組具有實際意義的對象集中放在一起歸納出有理數(shù)加法法則，這就是數(shù)學(xué)化。

然而，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程并不是一件容易的事情。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，有時候要設(shè)計能引起學(xué)生反思的數(shù)學(xué)活動。反思是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程的一種重要活動，它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力。

如“命題與證明”的教學(xué)，根據(jù)教材的定位和課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，要使學(xué)生能理解證明的意義。因此，我設(shè)計了“判斷下列命題的真假，并說明理由”的活動：(1)如果a>b，則a²＞b²；(2)對于任何自然數(shù)n，代數(shù)式的3+2值為素數(shù)。學(xué)生很快判斷了第(1)個命題是假命題，并且舉反例說明理由。對于第(2)個命題，學(xué)生也試著像第(1)題那樣如法炮制。然而，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n分別等于0、1、2時，代數(shù)式的值5、11、83確實是素數(shù)。但是當(dāng)n分別等于3、4時，代數(shù)式的值分別為6563、43046723。面對這樣大的數(shù)字，學(xué)生已經(jīng)很難判別是否是素數(shù)。這時，我問學(xué)生：“我們能判定第(2)個命題的真假嗎?為什么第(1)個命題我們能判別，而第(2)個命題不行呢?我們該用什么方法來判定第(2)個命題的真假?”這一系列的問題促使學(xué)生進行反思。學(xué)生在比較分析兩個命題時感受到憑實驗、觀察和舉例歸納得出的結(jié)論不一定正確，進而理解了證明的必要性。因此，在數(shù)學(xué)活動的設(shè)計中，不管是組織學(xué)生進行小組合作探究，還是促使學(xué)生反思，都要促進學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。

二、從幫助學(xué)生合理建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的角度設(shè)計數(shù)學(xué)活動

建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自我建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的活動。外部的數(shù)學(xué)信息是學(xué)生以自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗系統(tǒng)為基礎(chǔ)建構(gòu)的。美國著名教育心理學(xué)家奧蘇伯爾有一段經(jīng)典的論述：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸納為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素就是學(xué)生已經(jīng)知道什么，要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué)?！币虼?，數(shù)學(xué)活動的設(shè)計必須了解學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

一方面，要了解學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新問題的遷移作用。例如，在“合并同類項”的教學(xué)中，教師可通過對教材所提供材料的改編設(shè)計數(shù)學(xué)活動——讓學(xué)生計算長方形的面積。如圖所示，大長方形的面積可以用代數(shù)式8n+5n或(8+5)n表示，而8n+5n=(8+5)n=13n。長方形的面積計算早已成為學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗系統(tǒng)的—部分，通過面積計算讓學(xué)生感悟同類項合并的方法。同時，學(xué)生還有乘法分配律的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，所以可以通過分配律的逆用來驗證合并的可行性及合理性。

另一方面，要了解學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新問題的負(fù)遷移作用。如在“列方程解應(yīng)用題”的教學(xué)中，學(xué)生在學(xué)習(xí)這種方法解應(yīng)用題之前習(xí)慣于用算術(shù)方法解應(yīng)用題，算術(shù)方法解應(yīng)用題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在這里起到了負(fù)遷移作用。因而對“算式”變“等式”、“綜合”變“分析”、設(shè)置的“未知量”當(dāng)做“已知量”看待等的處理，學(xué)生會感到困難。另外，學(xué)生不熟悉生活，沒學(xué)過物理、化學(xué)等方面的常識，對“濃度、稀釋、濃縮、順?biāo)?、逆流、增長、增長到、增長率”等概念十分生疏，很容易混淆，當(dāng)然找不出等量關(guān)系。了解了學(xué)生解應(yīng)用題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教師可以按照學(xué)生列方程的思維序列設(shè)計數(shù)學(xué)活動。

三、從激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和需要的角度設(shè)計數(shù)學(xué)活動

學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣與欲望，是支持他們參與數(shù)學(xué)活動的內(nèi)在動力。因此，數(shù)學(xué)活動的設(shè)計要能夠觸發(fā)學(xué)生的興趣點，以增強數(shù)學(xué)活動的有效性。在“同底數(shù)冪的乘法”的教學(xué)中，之前可以先給學(xué)生講一個古代印度國王與丞相達依爾下象棋的故事。講完后要求學(xué)生回家按照達依爾的要求放米粒，計算一下，國王要給達依爾多少粒米。設(shè)計這樣的數(shù)學(xué)活動，既可以讓學(xué)生重新體驗乘方概念的產(chǎn)生，又可以在此基礎(chǔ)上體驗同底數(shù)冪相乘的法則。

有趣味的數(shù)學(xué)活動固然可以觸發(fā)學(xué)生的興趣，但要使學(xué)生獲得持久的興趣，則必須激活學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，讓他們參與評價。學(xué)生在評價的活動過程中傾聽同學(xué)的發(fā)言，而后評價、議論、交流，這符合知識學(xué)習(xí)“新知識的獲得、舊知識的改造、檢查知識是否恰當(dāng)”的過程。如在“一元二次方程”的單元復(fù)習(xí)時，我先準(zhǔn)備了一些方程，在學(xué)生解方程之前，我問學(xué)生：“方程的解法中，哪種方法你最熟練?哪種方法還很生疏?說說你的感受?！睂W(xué)生的自我評價不盡相同，摘錄部分如下：“我喜歡公式法，但當(dāng)b²-4ac很大時，化簡比較困難?！薄拔蚁矚g用因式法中的十字相乘法，解一元二次方程首選這個方法?！薄芭浞椒ǖ姆柸菀壮鲥e?！痹诼犎W(xué)生的自我評價后，我也會對學(xué)生的自我評價進行評價。雖然這樣的數(shù)學(xué)活動很平淡，評價的語言也很樸實，但對學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)和個性的培養(yǎng)意義深遠(yuǎn)。

四、從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、提高解決問題的能力角度設(shè)計數(shù)學(xué)活動

新課標(biāo)強調(diào)初中數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。

因此，數(shù)學(xué)活動的設(shè)計應(yīng)以數(shù)學(xué)思想為主線，以實際問題為背景，從中抽象、概括數(shù)學(xué)模型，提高數(shù)學(xué)建模能力。例如，在關(guān)于“費馬點”的教學(xué)中，教師可以設(shè)計如下內(nèi)容：為改善市民的飲用水質(zhì)量，市政府決定從水廠向兩供水站供水，已知水廠、兩供水站之間的距離相等，為了節(jié)約成本降低造價，請你設(shè)計一種最佳方案，使鋪設(shè)的輸水管道最短。此活動的意圖是：(1)通過學(xué)生將水廠、供水站之間的距離關(guān)系抽象為正三角形的三個頂點，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力；(2)將活動要解決的問題轉(zhuǎn)化為在正三角形中找到一個點，使這個點到三個頂點的距離之和最短；(3)在尋找這個點的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的證明思想。

對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)并不是僅僅給出一個實際情境問題就能輕易解決的，它需要教師對初中三年的數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想作一個系統(tǒng)的分析。只有這樣，才能避免出現(xiàn)每一個數(shù)學(xué)活動是孤立的、隨意的之類情況，才能使數(shù)學(xué)活動真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生解決問題的能力。

作為一個基層的初中數(shù)學(xué)教師，我行走在傳統(tǒng)和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教學(xué)之間。我不斷在傳統(tǒng)與現(xiàn)代之間調(diào)整著自己的教學(xué)方法。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注重知識的系統(tǒng)性，而現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教學(xué)注重在數(shù)學(xué)活動中培養(yǎng)學(xué)生的興趣，注重數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，強調(diào)以學(xué)生為主體建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。我想這是衡量數(shù)學(xué)活動的成效與優(yōu)劣的最根本的依據(jù)。