黃　晶

近年來在物理競賽中開始出現(xiàn)有關(guān)連桿機(jī)構(gòu)的題目，如2007年第24屆全國中學(xué)生物理競賽第2題. 由于此類裝置平時(shí)較少涉及，導(dǎo)致部分同學(xué)對此束手無策，下面通過實(shí)例討論給出此類問題的一般分析思路.

例題：圖1中所示為用三角形剛性細(xì)桿AB、BC、CD連成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖. AB和CD桿可分別繞過A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動，A、D兩點(diǎn)位于同一水平線上. BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連，可繞連接處轉(zhuǎn)動（類似鉸鏈）. 當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時(shí)，AB桿處于豎直位置. BC桿與CD桿都與水平方向成角45°，已知AB桿的長度為l，BC桿和CD桿的長度由圖給定. 求此時(shí)C點(diǎn)加速度的大小和方向（用與CD桿之間的夾角表示）？

一、速度分析

方法一：基點(diǎn)法[1]

以B點(diǎn)為基點(diǎn)，C點(diǎn)運(yùn)動可以看成隨B點(diǎn)的平動與繞B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動的合成. 即有vC=vB+vBC，矢量圖如圖2所示. 所以有vC=vBcos45°=vB=ωl.

方法二：速度投影法

速度投影法指的是平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影必定相等. 它說明剛體上任意兩點(diǎn)間的距離在任意時(shí)刻都是不變的，實(shí)質(zhì)上反映了剛體不變形的屬性. 具體可列出：

vC=vBcos45°=ωl.

方法三：速度瞬心法[2]

根據(jù)速度瞬心的定義，分別作出桿兩端點(diǎn)速度vB和vC的垂線交于O點(diǎn)，O點(diǎn)即為速度瞬心，如圖3所示.

設(shè)桿BC的角速度為ω1，則有ω1==. 故有vC=ω1·OC=ωl.

二、加速度分析

方法一：基點(diǎn)法

此機(jī)構(gòu)中，連桿做平面運(yùn)動. 由于B點(diǎn)加速度已知，以B點(diǎn)為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的加速度可表示為aC=aB+a[n][CB]+a[τ][CB]. 其中桿BC角加速度方向如圖4所示.

由于C點(diǎn)繞D點(diǎn)做圓周運(yùn)動，其加速度可以分解成切向和法向兩部分，如圖5所示，即有aB+a[n][CB]+a[τ][CB]=a[n][C]+a[τ][C].

將矢量方程投影可得：

a[n][C]=aBcos45°-a[τ][CB]=

a[τ][C]=aBsin45°+a[n][CB]

解得a[n][C]=ω2l，

a[τ][C]=ω2l，β=ω2.

則aC ==ω2l.

方向?yàn)榕cCD桿有夾角：

θ=arctan=arctan6.

方法二：加速度瞬心法

1. 解析法找加速度瞬心

以B點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)，容易分析得連桿做平面運(yùn)動的加速度瞬心Q在第四象限. 如圖6所示，將矢量方程aQ=aQB+a[n][QB]+a[QB][τ][QB]投影可得： a[n][QB]·cosα=[τ][QB][a]·sinα

a[n][QB]·sinα+[τ][QB][a]·cosα=aB

ω12·x=β·（-y）

ω12·（-y）+β·x=ω·l

解得x=l，y = -l，此即Q的坐標(biāo).

2. 幾何法找加速度瞬心

如圖7所示，過B點(diǎn)沿aB方向作線段BB1==4l，稱有向線段BB1為當(dāng)量加速度. 過B1作CB的垂線交CB于E點(diǎn). 作線段CC1==l，過C1作CC1的垂線交EB1于A1，并連接CA1. 分別以CA1和BB1為直徑作圓相交于E、Q點(diǎn). 則Q點(diǎn)即為桿BC的加速度瞬心. 下面給出簡單證明.

可以得到△A1B1Q與△CBQ相似，則有=. 而β=ω12=ω12.

將aQ=aQB+a[QB][τ][QB]+a[n][QB]同時(shí)除以ω12，得=++，其中==B1Q. 所以=B1B+B1Q+QB=0. 即aQ=0.

找到Q的位置后，連接QC，可得QC=l，則aC=·QC=ω2l. 在此瞬間桿BC可以看成繞加速度瞬心Q轉(zhuǎn)動一樣（但是各點(diǎn)的速度分布還是繞速度瞬心轉(zhuǎn)動），并且各點(diǎn)的加速度大小都與該點(diǎn)到加速度瞬心Q點(diǎn)的距離成正比：==. 如圖8所示. 這樣求桿BC上任意一點(diǎn)的加速度就很容易了，如F點(diǎn)的加速度為aF=·QF，只要求出QF即可.

三、小結(jié)

1. 基點(diǎn)法即理論力學(xué)中的夏萊定理，它將平面運(yùn)動分解成平動和轉(zhuǎn)動，是研究復(fù)雜運(yùn)動最基本、最典型的方法.

2. 投影法可以從夏萊定理結(jié)合剛體的定義推導(dǎo)出來，值得注意的是加速度只有平面運(yùn)動的角速度為零時(shí)候才能用投影法，本例中由于桿的角速度不等于零所以不能用加速度投影法.

3. 瞬心法的目的都是想利用計(jì)算定軸轉(zhuǎn)動剛體上任一點(diǎn)的速度、加速度的方法求解平面運(yùn)動剛體上任一點(diǎn)的速度、加速度，從而使物理情景加以簡化.

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