Venkatramani Lakshmibai

Standard Monomial Theory

Invariant Theoretic Approach

2008, 265pp.

Hardcover

ISBN 9783540767565

V．拉克什米柏等著

Schubert簇存在于代數(shù)幾何、組合學(xué)、交換代數(shù)、表示理論等交叉學(xué)科中，它們是一類重要的子標(biāo)志簇,為標(biāo)志簇的研究提供了歸納性方法。在過去的五十多年中，許多人從各個角度對Schubert簇進行了深入而廣泛的研究，提出了許多新穎的觀點和方法。本書就是在這種背景下收集了Schubert簇的最新發(fā)展成果，呈現(xiàn)了經(jīng)典不變理論的第一基本定理和第二基本定理之間的聯(lián)系，給出了特殊標(biāo)志簇MM正常正交辛Grassmann簇的標(biāo)準(zhǔn)單項式理論，發(fā)展了行列式簇和幾何不變理論。該書還陳述了標(biāo)準(zhǔn)單項式理論的應(yīng)用，研究了Schubert簇領(lǐng)域中的仿射代數(shù)簇。

全書由13章組成。1.引言，主要內(nèi)容有經(jīng)典不變理論、標(biāo)準(zhǔn)單項式理論、用標(biāo)準(zhǔn)單項式理論方法對第一基本定理和第二基本定理的證明、特別線性群SLn(K)與特別正交群SOn(K)的作用、標(biāo)準(zhǔn)單項式理論(SMT)的簡史、SMT方法的特征；2.代數(shù)簇的一般性，主要內(nèi)容有基本概念的定義、代數(shù)簇、仿射簇和投影簇；3.代數(shù)群的一般性，主要包含抽象根系、線性代數(shù)群、拋物子群、Schubert簇、Weyl模、Demazure模、G/Q上的線性叢、Schubert簇等式；4.Grassmann簇，主要有Plücker嵌入、Gd，n中的Schubert簇、Gd,n中的Schubert簇的標(biāo)準(zhǔn)單項式理論、Schubert簇的并集標(biāo)準(zhǔn)單項理論、消沒定理、算術(shù)CohenMMacaulay、Schubert簇的算術(shù)正規(guī)性、Schubert簇的因子分解；5.行列式簇，主要有Grassmann集中的Schubert簇等式、Gd,n中的逆胞腔上的Plücker坐標(biāo)賦值、X(ω)中的逆胞腔理想、行列式簇、偏序、理想的上生成元、單項式序和Gr塨ner基；6.辛Grassmann簇，主要包括G/BG中的Schubert簇、G/Pn簇、標(biāo)準(zhǔn)對偶對、對偶Weyl GM模、容許對、標(biāo)準(zhǔn)對、Dt(Sym Mn)的標(biāo)準(zhǔn)單項式基和De ConciniMProcesi基；7.Grassmann簇，主要有偶正交群、G/Pn簇、Dt(SkMn)的識別和標(biāo)準(zhǔn)單項式基；8.標(biāo)準(zhǔn)單項式理論，主要內(nèi)容有偶正交Grassmann簇的標(biāo)準(zhǔn)單項式理論和辛Grassmann簇的標(biāo)準(zhǔn)單項式理論；9.幾何不變理論，主要有GM空間、仿射商、分類商、優(yōu)勢商、穩(wěn)定半穩(wěn)定點、射影商、LM線性作用、HilbertMMumford準(zhǔn)則；10.不變理論，主要包括關(guān)于商的主要引理、SLd(K)M作用、GLn(K)M作用、On(K)M作用、SP21(K)M作用；11. SLn(K)M作用，主要內(nèi)容有二次關(guān)系、KM代數(shù)S、KM代數(shù)S中的標(biāo)準(zhǔn)單項式、KM代數(shù)S的正規(guī)性和CohenMMacaulay環(huán)、不變量環(huán)；12.SOn(K)M作用，主要包含預(yù)備知識、代數(shù)S、代數(shù)S(D)、代數(shù)S的CohenMMacaulay環(huán)、CohenMMacaulay環(huán)在模問題中的應(yīng)用、SL2(K)的伴隨作用；13.標(biāo)準(zhǔn)單項式理論的應(yīng)用，主要有切空間和光滑性、標(biāo)識簇中Schubert簇的奇異性、Grassmann簇中Schubert簇的奇異性、極小G/P中的Schubert簇、階梯行列式簇、箭圖簇、Grassmann簇中Schubert簇的Toric退化。書的最后是附錄，給出了標(biāo)準(zhǔn)單項式理論的一些主要定理的證明。

全書內(nèi)容豐富新穎，論述詳盡，適合從事代數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何、組合學(xué)和交換代數(shù)及其相關(guān)領(lǐng)域的科研人員和研究生閱讀和參考。

朱永貴，博士

(中國傳媒大學(xué)理學(xué)院)

Zhu Yonggui,Ph.D

(School of Science，Communication

University of China)