楊義先　郭　欽

摘要：網(wǎng)絡(luò)編碼的思想在1999年由楊偉豪和張珍首次提出，由Ahlswede等人進(jìn)一步發(fā)展和擴(kuò)充，安全的網(wǎng)絡(luò)編碼也隨即提出。蔡寧和楊偉豪首先針對單信源有向無圈網(wǎng)絡(luò)給出了安全網(wǎng)絡(luò)編碼的定義和模型，其他研究者也各自提出了不同的安全模型，如J P Vilela提出了輕量級安全的網(wǎng)絡(luò)編碼，K Bhattad提出了弱安全的網(wǎng)絡(luò)編碼等，另外還有抗拜占庭攻擊的網(wǎng)絡(luò)編碼。網(wǎng)絡(luò)編碼理論亦在網(wǎng)絡(luò)糾錯中得到了應(yīng)用，楊偉豪和蔡寧推廣了經(jīng)典糾錯碼, 引入了網(wǎng)絡(luò)糾錯碼，楊勝豪在楊偉豪和蔡寧研究的基礎(chǔ)上, 研究了線性網(wǎng)絡(luò)編碼的重量性質(zhì)。 關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)編碼；線性網(wǎng)絡(luò)編碼；拜占庭攻擊；網(wǎng)絡(luò)糾錯碼

Abstract: The concept of network coding was first introduced by R W Yeung and Z Zhang in 1999. It was fully developed by Ahlswede et al. Later secure network coding was introduced, and N Cai and R W Yeung developed the concept and model of secure network coding for directed acyclic network. But for different specialties people gave different models for secure network coding. For instance, J P Vilela introduced light weight secure network coding, and K Bhattad introduced weakly secure network coding. When considering the practical secure network, we must think over the network coding that resists active attack, that is to say resists Byzantine attack. In this paper we also introduce such kind of network coding. On the other hand, researchers have lots of results in network error correction using network coding. R W Yeung and N Cai firstly generalize results in classical error correction codes and bring forward the network error correction codes to correct the errors of transmission; later, S H Yang develops weight characters of network error correction for linear network coding.

Key words: network coding; linear network coding; Byzantine attack; network error correction coding

網(wǎng)絡(luò)編碼的思想建立在網(wǎng)絡(luò)信息流的基礎(chǔ)之上，它通過允許網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)對來自不同鏈路的信息進(jìn)行編碼組合，使其既能實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)路由的存儲-轉(zhuǎn)發(fā)功能又能實(shí)現(xiàn)對信息的處理。[1-5]

1 網(wǎng)絡(luò)編碼理論提升網(wǎng)絡(luò)容量

網(wǎng)絡(luò)編碼能夠提高傳輸速率，從而達(dá)到網(wǎng)絡(luò)多播的最大流限，并且多播容量等于從信源到信宿節(jié)點(diǎn)的最大流的最小值。

圖1所示的蝶型網(wǎng)絡(luò)是通過網(wǎng)絡(luò)編碼實(shí)現(xiàn)多播最大容量的經(jīng)典例子，也正是通過與傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)路由進(jìn)行比較體現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)編碼的優(yōu)越性：圖1(a)中路WX需要兩倍的帶寬，或者為了使得X和Z都得到信息b1和b2但不增加路WX的帶寬，只有平均傳送1.5次。信源節(jié)點(diǎn)S要多播信息給節(jié)點(diǎn)Y和Z。假設(shè)每條鏈路的容量都是1 bit，由最大流最小割定理，S每單位時間可以多播2 bit信息，而按一般的存儲－轉(zhuǎn)發(fā)模式，不能達(dá)到同時多播2 bit信息。因?yàn)閺膱D1中可以看出，鏈路WX每次只能傳送1 bit，要傳送2 bit信息，就必須使用2次，如圖1(b)和圖1(c)；這樣，經(jīng)過兩次傳輸，Y和Z分別收到3 bit信息b1、b2和b3。所以網(wǎng)絡(luò)傳輸每單位時間至多為1.5 bit。圖1(d)采用了網(wǎng)絡(luò)編碼的方法，這樣S每單位時間可以多播2 bit信息。但是如果我們不在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)W進(jìn)行編碼的話，并且想達(dá)到同時多播兩個消息給Y和Z兩個接受節(jié)點(diǎn)的話，我們必須增加WX鏈路的容量到2，見圖1(a)。在本例中，采用網(wǎng)絡(luò)編碼使得每條鏈路只使用了一次，這樣不僅使得網(wǎng)絡(luò)負(fù)載比較均衡，節(jié)省了傳輸次數(shù)同時又減小了網(wǎng)絡(luò)時延，增大了網(wǎng)絡(luò)吞吐量。如果網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)對其輸入信息進(jìn)行線性操作，則稱為線性網(wǎng)絡(luò)編碼，否則稱為非線性網(wǎng)絡(luò)編碼。如果網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)對信息進(jìn)行操作的系數(shù)是隨機(jī)選取的，則稱為隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)編碼；如果網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)對信息是通過算法確定出來，則稱為確定性網(wǎng)絡(luò)編碼。

2 網(wǎng)絡(luò)編碼理論在數(shù)據(jù)安全領(lǐng)域的應(yīng)用

在目前的網(wǎng)絡(luò)通信中，搭線竊聽、拜占庭攻擊是破壞數(shù)據(jù)安全傳輸?shù)某Ｒ?網(wǎng)絡(luò)糾錯)手段和方法。在網(wǎng)絡(luò)編碼出現(xiàn)以前，主要利用作為信息安全的核心技術(shù)——密碼學(xué)領(lǐng)域中的諸如數(shù)據(jù)加密、哈希函數(shù)和消息認(rèn)證等方式來確保數(shù)據(jù)的安全傳輸。然而傳統(tǒng)的密碼學(xué)方法存在一定的局限性，如計算復(fù)雜度較大、數(shù)據(jù)傳輸速率較低、消息冗余較大等，因此需要尋找一些安全、高效的數(shù)據(jù)傳輸方式。雖然網(wǎng)絡(luò)編碼的初衷在于提高網(wǎng)絡(luò)的吞吐量，但是隨著進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)它也是一種安全網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)暮梅绞健Ｈ欢诳箵舭菡纪ス魰r，我們不僅要能夠檢測出敵手對信息的惡意攻擊，還要盡量能夠做到對這些信息的恢復(fù)，這就是網(wǎng)絡(luò)糾錯碼。楊偉豪和蔡寧首先提出了網(wǎng)絡(luò)糾錯碼的概念和理論框架。

2.1 抗搭線竊聽的網(wǎng)絡(luò)編碼

蔡寧等人最先研究了單信源有向無圈網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)安全多播問題[3]，給出了搭線竊聽的網(wǎng)絡(luò)通信模型，并且構(gòu)造了在信息論意義下的安全網(wǎng)絡(luò)編碼，即竊聽者無論偷聽所給定偷聽范圍內(nèi)的哪個竊聽集都無法恢復(fù)出原始信息。如圖2所示，從信源發(fā)出的信息中，m是消息本身，而k是為了達(dá)到安全的隨機(jī)數(shù)。圖2中紅線是竊聽集，但是一個時間內(nèi)只允許敵手竊聽其中的一條，這樣接收節(jié)點(diǎn)T和T＇能夠安全接收到信源傳來的消息ｍ。

Feldman等人[6]在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上證明了將線性網(wǎng)絡(luò)編碼變?yōu)榘踩W(wǎng)絡(luò)編碼，等價于找到滿足一定廣義距離性質(zhì)的線性碼，并說明如果放棄少量的整體容量，就可以在較小的基域上構(gòu)造出安全的網(wǎng)絡(luò)編碼。K Jain等人[7]在文獻(xiàn)[3]的安全性假設(shè)下, 得到了單源網(wǎng)絡(luò)中(可以有環(huán))以單位速率安全單播的充要條件，在假定搭線竊聽者具有有限計算能力的情形下，利用Hash函數(shù)和網(wǎng)絡(luò)編碼相結(jié)合的方法，使得網(wǎng)絡(luò)以更高的速率傳輸數(shù)據(jù)，而搭線竊聽者得不到信源的任何有用信息。K Bhattad等人[8]針對無圈網(wǎng)絡(luò)多播問題，提出了搭線竊聽者不能得到任何有意義信息的弱安全網(wǎng)絡(luò)編碼模型，其體系較簡單，雖不是理論上的信息安全，但也有一定的適用范圍。(它與文獻(xiàn)[3]中一般的信息論意義下的安全性的差別在于：前者是指竊聽者不能得到有關(guān)一個信源發(fā)出的任何部分消息，而后者的安全指的是不能得到由任何信源發(fā)出的所有消息，其本質(zhì)的差別就在于整體相互獨(dú)立強(qiáng)于部分相互獨(dú)立)。T Chan 等人[9]討論了多源安全網(wǎng)絡(luò)通信問題，在一定的竊聽范圍的限制下，利用隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)編碼的方法，給出了多源安全網(wǎng)絡(luò)編碼容量的內(nèi)界、外界和線性規(guī)劃界，它們推廣了楊偉豪所得到的相關(guān)結(jié)論。

2.2 抗拜占庭攻擊的網(wǎng)絡(luò)編碼

網(wǎng)絡(luò)編碼在抗搭線竊聽方面得到廣泛研究的同時，很多研究者又開辟了網(wǎng)絡(luò)編碼在針對抗擊另外一種有更大安全隱患的拜占庭攻擊的研究。在這種攻擊問題中，攻擊者不僅想得到一些有用的消息，還通過多種手段來阻止通信雙方的正常通信，即加入或修改正常傳輸中的信息。隨著對安全、高效的數(shù)據(jù)通信的要求越來越高，這種惡意的攻擊問題的解決勢必越來越重要。

圖3是有線和無線網(wǎng)絡(luò)的帶有拜占庭攻擊者的攻擊模型，為了簡化符號，只考慮單信源單信宿的通信問題。相似于許多網(wǎng)絡(luò)編碼的算法，這里每個體制都可以從單個接收方的情形推廣到多播通信。在網(wǎng)絡(luò)編碼情形下，有拜占庭攻擊的一般通信模型，可從兩個方面來描述：攻擊模型和網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)編碼模型。下面主要基于S Jaggi等人[10]提出的有關(guān)結(jié)果。

圖3中X表示Alice發(fā)出的原始消息塊，Z表示攻擊者Eve注入的錯誤消息塊，Y表示經(jīng)過篡改被Bob接收的消息塊。矩陣I、L和T分別表示數(shù)據(jù)包X、Y和Z的編碼向量。

信源Alice和信宿Bob通過一個有線或無線網(wǎng)絡(luò)通信，攻擊者Eve隱藏在網(wǎng)絡(luò)中。此時在上面普通通信模型基礎(chǔ)上有兩個改變：一是信宿由于受到攻擊者的影響將作如下更改，即信宿Bob收到的數(shù)據(jù)包所組成矩陣Y的列秩變?yōu)閎 +c 0，其中c 0是從Eve到Bob的最小割值。Bob試圖利用他所收到的數(shù)據(jù)包所構(gòu)成的矩陣Y，排除錯誤、重建Alice發(fā)出的信息X；二是在通信過程中有了存在攻擊者Eve的攻擊，將影響中間節(jié)點(diǎn)的編碼和傳輸。假定惡意數(shù)據(jù)包是附加在信源數(shù)據(jù)包后的一部分，令c 0×n階矩陣Z表示Eve 注入到每組中的信息，它的第i 行Zi表示第i 個惡意的信源數(shù)據(jù)包。當(dāng)Eve注入自己的數(shù)據(jù)包時，將這些修改后的數(shù)據(jù)包假裝成從Alice到Bob傳輸?shù)男畔⒘鞯囊徊糠?。Eve是非常強(qiáng)大的，有極大的計算能力，知道Alice和Bob之間的編碼和解碼體制，也知道在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)處所執(zhí)行的網(wǎng)絡(luò)編碼，并且知道確切的網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。

針對攻擊者的不同攻擊能力可以分為如下3種主要攻擊模型。

(1)秘密共享模型

此模型假定Alice和Bob有一個低速率的秘密信道，Eve不知道秘密信道上的傳輸消息。考慮將消息經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)編碼后在網(wǎng)絡(luò)上傳輸，Eve可以觀察到所有除秘密信道之外的所有傳輸，也可以選擇是否在他所控制的節(jié)點(diǎn)處在要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包中注入一些惡意數(shù)據(jù)到從而達(dá)到阻止Alice和Bob通信的目的。

(2)萬能攻擊者模型

此模型中Eve除了在控制鏈接數(shù)目上受到一定限制外，是萬能的、無所不知的，Alice和Bob之間沒有獨(dú)立于Eve的秘密信道。假設(shè)攻擊者到接收節(jié)點(diǎn)之間的最小割c 0＜C /2，其中C是網(wǎng)絡(luò)容量。

(3)有限的竊聽模型

在這個模型中，Eve 的竊聽能力是有限制的，只能觀察到至多Z I個傳送的包。

2.3 適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)糾錯的網(wǎng)絡(luò)編碼

在網(wǎng)絡(luò)編碼先前的研究中，網(wǎng)絡(luò)中的傳輸多數(shù)情況下是假定無差錯的。然而，實(shí)際的通信網(wǎng)絡(luò)中，傳輸受各種不同錯誤的影響，例如：

由信道噪聲引起的隨機(jī)錯誤。在經(jīng)典糾錯碼理論中已經(jīng)廣泛討論了隨機(jī)錯誤的糾正，在一個數(shù)據(jù)包中可以利用具有好的錯誤檢測能力的糾錯碼作為局部碼，當(dāng)數(shù)據(jù)包中錯誤的數(shù)目很少時錯誤可以被糾正，而當(dāng)錯誤很大時能以很高的概率檢測出錯誤、并刪除數(shù)據(jù)包，只有在錯誤不可檢測的情況下錯誤包依然保留在網(wǎng)絡(luò)中，并且當(dāng)使用網(wǎng)絡(luò)編碼時會影響其他的數(shù)據(jù)包。

擦除錯誤或者由網(wǎng)絡(luò)擁塞引起的數(shù)據(jù)包丟失。這種類型的錯誤在網(wǎng)絡(luò)理論中被廣泛討論，數(shù)據(jù)包丟失也可能是由數(shù)據(jù)包頭的錯誤引起。

由惡意節(jié)點(diǎn)故意改變或者創(chuàng)造的數(shù)據(jù)包。惡意節(jié)點(diǎn)的目的是在網(wǎng)絡(luò)中干擾通信，并且使通信不可靠。這或許可能是網(wǎng)絡(luò)通信較其他類型錯誤更嚴(yán)重的問題，惡意節(jié)點(diǎn)可能改變數(shù)據(jù)包攜帶的消息或者是包含在數(shù)據(jù)包包頭的信息。

包頭錯誤。在一個數(shù)據(jù)包中，一些重要的信息例如在網(wǎng)絡(luò)編碼中的全局編碼核、數(shù)據(jù)包產(chǎn)生的位置(信源)、數(shù)據(jù)包的目的地(接收節(jié)點(diǎn))等是記錄在包頭中的，包頭任意錯誤可能引起傳輸?shù)膰?yán)重問題。如果全局編碼核改變，稱為是全局編碼核錯誤，將影響接收節(jié)點(diǎn)的解碼；如果目的地的信息被改變，可能引起接收節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)包丟失。而按Lamport等人[11]的分類，上面的大多數(shù)錯誤都可歸結(jié)到拜占庭錯誤中。

在研究網(wǎng)絡(luò)編碼理論的同時，一些研究者已經(jīng)注意到網(wǎng)絡(luò)編碼可以用來檢測和糾正網(wǎng)絡(luò)中的錯誤。楊偉豪和蔡寧[12-13]在經(jīng)典糾錯碼基礎(chǔ)上，引入了網(wǎng)絡(luò)糾錯碼的概念。此推廣目的在于利用網(wǎng)絡(luò)編碼，通過引入空間域的冗余代替時間域的冗余來糾正網(wǎng)絡(luò)通信中的錯誤。他們將經(jīng)典糾錯碼的Hamming界、Singleton界和Gilber-

Vashamov界推廣到網(wǎng)絡(luò)編碼，并構(gòu)造糾正錯誤能力能達(dá)到Singleton界的極大距離可分碼(MDS碼)，以及提出了網(wǎng)絡(luò)糾錯碼的解碼原則——包括接收節(jié)點(diǎn)處的解碼矩陣和錯誤空間、接收節(jié)點(diǎn)處的消息空間、錯誤模式的秩、網(wǎng)絡(luò)糾錯碼的最小距離等。

楊勝豪[14]在楊偉豪和蔡寧的基礎(chǔ)上，研究了線性網(wǎng)絡(luò)編碼的重量性質(zhì)。在為差錯向量、接收向量和信息向量引入了一些新的稱為網(wǎng)絡(luò)重量的定義的基礎(chǔ)上(所有這些網(wǎng)絡(luò)的Hamming重量在特殊的網(wǎng)絡(luò)糾錯碼情形下，就變?yōu)橥ǔ５腍amming重量)，定義了網(wǎng)絡(luò)編碼的最小距離。

D Silva等人[15]主要考慮端到端的錯誤控制編碼，受R Koetter and Kschischang[16]的啟發(fā)，致力于實(shí)際碼的構(gòu)造。不像張珍和楊偉豪提出的網(wǎng)絡(luò)編碼差錯控制方式，D Silva假定信源和接收節(jié)點(diǎn)未知，或者至少不設(shè)法知道網(wǎng)路拓?fù)浠蛘呔W(wǎng)絡(luò)中所使用的特定的網(wǎng)絡(luò)編碼，傳輸器選擇對信息編碼合適的向量空間V，而不是傳統(tǒng)糾錯碼中的向量。V 的選擇是通過將V 的一組基嵌入到網(wǎng)絡(luò)中以發(fā)出信號，其中每個基向量都對應(yīng)一個傳送的數(shù)據(jù)包，接收者搜集數(shù)據(jù)包。假設(shè)這些數(shù)據(jù)包能構(gòu)成一個接收空間U的一組基，如果V ∩U 可得一個充分大維數(shù)的空間，那么正確接收是可能的。通過在子空間上定義一個合適距離，就可以一般化在漢明距離意義下的經(jīng)典編碼理論。此方法在任意給定域和對數(shù)據(jù)包大小無實(shí)質(zhì)上要求的情況下都可行，對于一大類碼，R Koetter and Kschischang[16]的子空間距離度量和秩度量的是密切相關(guān)的，許多來自秩距離碼理論中的工具可以運(yùn)用到隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)編碼。在秩距離碼的環(huán)境下，錯位和錯值兩種情形可能發(fā)生——錯位對應(yīng)于知道錯誤的位置但不知道錯誤的值，錯值意味著知道錯誤的值但不知道錯誤的位置，這些概念推廣了在秩距離情形下行列錯誤術(shù)語。

張珍在楊偉豪和蔡寧研究的基礎(chǔ)上，致力于線性網(wǎng)絡(luò)糾錯碼基本問題的研究提出了線性網(wǎng)絡(luò)糾錯碼的基本性質(zhì)、構(gòu)造和對各種各樣錯誤的差錯糾正能力[17-18]。文中的討論限制在單信源的多播情形，作者定義了一個網(wǎng)絡(luò)糾錯碼的最小距離，它和經(jīng)典編碼理論中的最小距離起同樣的作用?；跅顐ズ篮筒虒幪岢龅木W(wǎng)絡(luò)糾錯碼的解碼原則，作者引進(jìn)兩個解碼算法并且分析它們的性能，進(jìn)而闡明了全局核錯誤和擦除錯誤糾正問題，并利用碼的最小距離來刻畫此類型錯誤的差錯糾正能力。

3 結(jié)束語

網(wǎng)絡(luò)編碼在抗搭線竊聽、抗拜占庭攻擊和網(wǎng)絡(luò)糾錯碼等網(wǎng)絡(luò)安全領(lǐng)域的3個重要方面已展開應(yīng)用，但是還需進(jìn)一步發(fā)展[19]，例如網(wǎng)絡(luò)編碼在抗搭線竊聽方面研究的假設(shè)還是稍微有些強(qiáng)，所以將這些理論應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)通信中還有很多工作要做。

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收稿日期：2008-11-15

楊義先，北京郵電大學(xué)計算機(jī)學(xué)院執(zhí)行院長，信息安全中心教授、博士生導(dǎo)師。研究方向包括信息安全、網(wǎng)絡(luò)安全、編碼密碼學(xué)、數(shù)字信號處理、網(wǎng)絡(luò)編碼等。獲得10余項(xiàng)國家級和省部級科技獎勵，發(fā)表論文500余篇。

郭欽，北京郵電大學(xué)計算機(jī)學(xué)院在讀博士研究生，主要從事網(wǎng)絡(luò)編碼和分組密碼的研究。