高俊元

銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解直角三角形的基礎(chǔ).銳角三角函數(shù)值的計(jì)算對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)．讓我們一起來(lái)總結(jié)有關(guān)的三角函數(shù)值的解題方法．

一、定義法

例1 三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖1所示，則sinα的值是（）.

A. B. C. D.

解析： 由正方形網(wǎng)格可知，角α的對(duì)邊的長(zhǎng)為3，鄰邊的長(zhǎng)為4，要求sinα，只要根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算即可．

設(shè)α的對(duì)邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則a=3，b=4，所以c= =5.所以sinα= = .選C．

評(píng)注: 解答這類問(wèn)題最易發(fā)生的錯(cuò)誤，是搞錯(cuò)邊的比的關(guān)系.有時(shí)定義記準(zhǔn)確了，實(shí)際計(jì)算時(shí)又犯糊涂.克服辦法

就是計(jì)算時(shí)每一步都要細(xì)心.

二、設(shè)k法

例2 已知∠A為銳角，sinA= ，求其他三角函數(shù)值．

解析： 根椐已知的一個(gè)銳角三角函數(shù)值，應(yīng)用三角函數(shù)的定義，引入字母表示兩邊長(zhǎng)，然后用勾股定理求出第三邊，最后用定義就可以求出其他銳角三角函數(shù)值．

設(shè)∠A為某直角三角形的銳角，其對(duì)邊a為5k，斜邊c為13k（k＞0），則∠A的鄰邊b為12k．

根據(jù)定義，得cosA= = = ，tanA= = = ，cotA= ．

評(píng)注: 將三邊用字母表示的步驟看似煩瑣，實(shí)際是避免錯(cuò)誤的好方法.這類計(jì)算題思考難度并不大，主要是計(jì)算的準(zhǔn)確性問(wèn)題.

三、關(guān)系式法

例3 如果α是銳角且cosα= ，求sinα的值．

解析： 根據(jù)三角函數(shù)的意義，可得sin2α+cos2α=1.

所以sinα= = = ．

評(píng)注： 三個(gè)三角函數(shù)之間的關(guān)系：sin2α+cos2α=1，tanα= .根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系式，知道三個(gè)三角函數(shù)中的任意一個(gè)的值，都可以求出其他兩個(gè)三角函數(shù)值.

四、等比轉(zhuǎn)化法

例4 如圖2，已知AB是半圓O的直徑，弦AD和BC相交于點(diǎn)P，AB=5，CD=3，求cos∠BPD.

解析： 要求cos∠BPD，首先構(gòu)造直角三角形.連接BD.可知cos∠BPD= .PD，PB未知，可根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

顯然△CDP∽△ABP，則 = .

因?yàn)锳B是半圓O的直徑，所以∠ADB=90°.

所以cos∠BPD= = = .

評(píng)注： 構(gòu)造直角三角形，借助相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，將比例進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是解這類問(wèn)題的基本思考路徑.

五、構(gòu)造法

例5 求tan15°的值．

解析： 由于15°是30°的一半，故借助含30°角的直角三角形來(lái)構(gòu)造含15°角的直角三角形，再由三角函數(shù)定義求sin15°的值.用此三角形可以求出15°，75°角的所有三角函數(shù)值．

如圖3，作Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=30°.延長(zhǎng)CB到D，使BD=BA，則∠D=15°.

設(shè)AC=k，則AB=2k，BC= k．

∴CD=（2+ ）k．

∴tanD= = = =2- .

∴tan15°=2- .

評(píng)注: 通過(guò)構(gòu)造特定的直角三角形，將15°角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為30°角的三角函數(shù)值問(wèn)題，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，有時(shí)題目中沒(méi)有直角三角形，我們還可以通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題.

責(zé)任編輯/趙良河

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。