陳萬龍　元正全

一、問題的提出

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念明確指出“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式”，“使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造過程”，“高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)探究等學(xué)習(xí)活動”，“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.”這些理念明確了一個教育改革趨勢：在數(shù)學(xué)教學(xué)中提倡“探究性學(xué)習(xí)”，加強學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng).

而探究能力的培養(yǎng)，僅靠幾次數(shù)學(xué)探究活動是難以獲得預(yù)期效果.故運用數(shù)學(xué)解題教學(xué)情境來培養(yǎng)學(xué)生的探究能力將成為實現(xiàn)這一基本理念的主要途徑.但近幾年我們在數(shù)學(xué)教學(xué)調(diào)研中發(fā)現(xiàn)有幾種不良教學(xué)探究行為：第一，教師接二連三地問，學(xué)生斷斷續(xù)續(xù)地答，教師不斷發(fā)出指令，學(xué)生手忙腳亂地執(zhí)行“探究”，其間學(xué)生完全被教師的思維設(shè)計左右，學(xué)生處處處于被動局面，這種探究不能稱其為探究；第二，一味追求探究過程的真實、自然，放任學(xué)生探究的所謂“科學(xué)探究”也不是有效地探究學(xué)習(xí)，這種探究過程中學(xué)生處于失控狀態(tài)，教師沒有發(fā)揮其教學(xué)活動中的主導(dǎo)作用，因為有效的探究學(xué)習(xí)離不開教師的科學(xué)調(diào)控，精心設(shè)計.事實上解題教學(xué)中進行探究性學(xué)習(xí)，是讓學(xué)生經(jīng)歷解題思路的發(fā)現(xiàn)、解題方案的制訂和實施的過程，有助于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，它有助于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識分析問題和解決問題的能力，有助于鍛煉學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力.

探究活動的啟動有賴于問題情景的創(chuàng)設(shè)，然而，在解題教學(xué)中，教師精心設(shè)計了數(shù)學(xué)問題，學(xué)生探究學(xué)習(xí)是否一定有較好的效果?下面從“有效的探究性學(xué)習(xí)的特征”和“教師如何引導(dǎo)探究——讓學(xué)生的探究更有效”兩方面談?wù)剛€人的認(rèn)識.

二、有效探究性學(xué)習(xí)的特征

(一)自主性.建構(gòu)主義認(rèn)為，知識不是客觀的東西，而是主體的經(jīng)驗、解釋

和假設(shè)，教學(xué)要創(chuàng)設(shè)一定的環(huán)境，促進學(xué)習(xí)者主動建構(gòu)知識的意義.引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，自主尋找方法，自主探究思路，自主解決問題.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性.前面提到的第一種探究形式就嚴(yán)重違背了學(xué)生在探究學(xué)習(xí)中的自主原則.

(二)科學(xué)性.探究活動的內(nèi)部機制是思維活動.今天，人們對自身頭腦的活動

已有較多的認(rèn)識，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的思維規(guī)律指導(dǎo)探究，可以使探究少走彎路，探究過程更規(guī)范、有序.

(三)時效性.時效是指單位時間內(nèi)的教學(xué)效果.無論哪一種教學(xué)形式，課堂效

率高才應(yīng)該受到推崇.

(四)成效性.成效指教學(xué)活動價值的實現(xiàn)程度，指課堂容量大小，它和時效

一樣都是衡量課堂效率的重要指標(biāo).前面第二種探究形式就沒有實現(xiàn)探究教學(xué)活動的較高時效性和較好的成效性.

有效的探究學(xué)習(xí)應(yīng)兼顧以上四個特征，四者不可偏廢.因此教師應(yīng)根據(jù)探究活動的內(nèi)部機制，結(jié)合探究內(nèi)容、學(xué)生的基本學(xué)情，適時、恰當(dāng)?shù)鼐脑O(shè)計、科學(xué)調(diào)控解題教學(xué)中的探究活動.

三、解題教學(xué)中，教師如何引導(dǎo)探究——讓學(xué)生探究更有效

(一)教給學(xué)生探路的方法，讓學(xué)生探究更科學(xué)

探究解題思路的思維活動是對問題的識別、歸類和假設(shè)驗證的過程.據(jù)心理學(xué)研究表明：探究解題思路首先是對問題的類型加以識別，根據(jù)各類問題的特征準(zhǔn)確地將其歸類，以便應(yīng)用相應(yīng)的解題方法求得問題的解決.高中生已積累了豐富的解題經(jīng)驗，理性思維得到一定程度地發(fā)展.教給他們科學(xué)的探索解題思路的方法，或者說是明晰原來已存在頭腦中但是說不清、道不明的解題意識，無疑會給他們在自主探索時減少盲目性，使探究更科學(xué).

根據(jù)波利亞的解題思想，探究解題思路的思索階段可分三步：審題—聯(lián)想—探路.每一步學(xué)生可根據(jù)下列“思索三步問題表”向自己提一些問題，促使自己在探究中摸索著前進.

思路三步問題表：

步

驟問題或建議審

題1.已知和要求各是什么?實質(zhì)是什么?

2.有何關(guān)鍵或特點?能否換一種語言敘述題意?能否畫題意附圖.聯(lián)

想3.這是何種類型題目?常有哪幾種解法?先選哪一種試探?能最后解、證得出嗎?

4.聯(lián)想了哪個知識，怎樣利用它?能進一步轉(zhuǎn)化嗎?探

路5.能否先把已知轉(zhuǎn)化為可知，未知轉(zhuǎn)化為需知?思路是否連通?

6.能否先研究特例或部分問題，從中獲得啟示?

7.轉(zhuǎn)化難以實現(xiàn)的癥結(jié)是什么?(二)適時介入探究過程，提高探究的時效性

新課標(biāo)倡導(dǎo)充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí)，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新.同時也提出在探究活動中教師決不能只是旁觀者的角色，而應(yīng)該做探究活動的合作者、引導(dǎo)者、促進者，自始至終參與探究歷程.

課堂教學(xué)有生成性，探究活動中，探究受阻，探究偏離預(yù)定方向是普遍存在的現(xiàn)象.我們并不排除此時從課堂實際出發(fā)而修改教學(xué)目標(biāo)，調(diào)整教學(xué)進度的作法，但這只是個別情況下的特例.試想每堂課都為了探究而探究，延緩教學(xué)目標(biāo)的實施，這顯然是不現(xiàn)實的.一般情況下，此時教師應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)臅r機、適當(dāng)?shù)姆绞浇槿胩骄窟^程，促使探究活動順利達到預(yù)定目標(biāo).

1.介入的時機和方式.孔子早就說過：“不憤不啟，不悱不發(fā).”意思是說：只有在學(xué)生思考不出而產(chǎn)生煩悶心情時，在學(xué)生想說又說不出來時，教師才予以啟發(fā).探究活動中，教師應(yīng)通過巡視、參與、傾聽，從學(xué)生的目光、表情、舉止和他們的練習(xí)、答問或質(zhì)疑中捕促“憤、悱”的時機適時介入.教師可以通過提供鋪墊性問題，為學(xué)生探究提供腳手架；也可通過提問的方式啟導(dǎo)思維，幫助學(xué)生打開思路；另外，教師還要審時度勢及時調(diào)整探究方式，組織學(xué)生合作探究.

2.介入的原則：“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達.”教師的介入，是通過比較自然的幫助，促使學(xué)生自己想出一個好念頭.

(三)借題引發(fā)再次探究，擴大探究的成效性

很多解題教學(xué)的課堂，教師提供多個毫無關(guān)聯(lián)的問題讓學(xué)生探究學(xué)習(xí)，由于要閱讀多個不相關(guān)的問題情景，勢必增加學(xué)生閱讀理解的負(fù)擔(dān)，浪費大量寶貴的時間，不利于增大課堂容量，而且由于問題過于分散，不利于幫助學(xué)生建構(gòu)較為系統(tǒng)的方法體系，不利于培養(yǎng)思維的深刻性.若能以中心問題為依托，充分把握中心問題的輻射功能和教學(xué)功能，既能有效地擴大容量，又能使學(xué)生的思維無論從廣度、深度，還是思維品質(zhì)得以全方位的錘煉.

1.引導(dǎo)學(xué)生反思過程，優(yōu)化解題思路

羅增儒教授認(rèn)為：思路一旦打通，解法初步得出，便終止解題活動，這會使思維的暴露與理

解徘徊于表層段面.“總是囿于探索看探索，不能跳出探索，居高臨下地看探索.因此，還需要數(shù)學(xué)解題思維過程的繼續(xù)暴露.”此時，教師應(yīng)幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)思維回路中多余的思維“冗余”，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想.

例1 (2004湖北高考題)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B，求實數(shù)k的取值范圍.

學(xué)生經(jīng)過自主探究，很快得出如下解法：

解：將直線和雙曲線聯(lián)立消y后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0，依題意，方程(k2-2)·x2+2kx+2=0有兩個不小于22的根.

設(shè)f(x)=(k2-2)x2+2kx+2，則

(1)k2-2>0

△=-4k2+16>0

-2k2(k2-2)>22

f(22)≥0或

(2)k2-2<0

△=-4k2+16>0

-2k2(k2-2)>22

f(22)≤0解之得-2

引導(dǎo)學(xué)生分析：(2)式的解集為空集，能事先預(yù)知嗎?學(xué)生經(jīng)過討論，畫圖分析，發(fā)現(xiàn)：由于f(x)的圖像恒過(0，2)點，開口向下時，不可能與x軸交點都在22右側(cè).所以不等式組(2)是無效的，多余的.

之后再次引導(dǎo)學(xué)生討論：方程2x2-y2=1(x≥22)和方程2x2-y2=1(x>0)等價嗎?由此你有何啟發(fā)?學(xué)生再次討論得到改進的方法：k2-2≠0

△=-4k2+16>0

-2kk2-2>0

2k2-2>0解得-2

2.引導(dǎo)學(xué)生一題多解，培養(yǎng)思維靈活性

教師幫助學(xué)生突破集中的思維定勢，多角度地引導(dǎo)學(xué)生觀察，分析問題的性質(zhì)特征，想象、思考、探索，另辟蹊徑解決問題.

例2 已知a>b>c>0，求證：1a-b+1b-c+1c-a>0.

學(xué)生的一般解法是把目標(biāo)式左邊通分，化簡，再把分子變形以便判斷它為正數(shù).此時，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：盡管通分化簡是解決有關(guān)分式問題的常規(guī)方法，但如果項數(shù)增多或分母的次數(shù)增高，那就不但計算量增大，而且難度也增大.因此，這種情況下應(yīng)設(shè)法縮小通分的范圍或避免通分.師生經(jīng)過合作探討，可得以下兩種方法：

證二：1a-b+1b-c+1c-a>01a-b+1b-c>1a-c赼-c(a-b)(b-c)>1a-c醓-c>0

a-ca-b·a-cb-c>1醓>b>c.∴1a-b+1b-c+1c-a>0.

證三：∵a>b>c>0,∴a-b>0,a-c>b-c>0.∴1a-b>0,1b-c+1c-a=1b-c-1a-c>0.∴1a-b+1b-c+1c-a>0.

對于一個題目，從不同角度去觀察和分析，會得到不同的啟示，引出不同的解法.當(dāng)然，我們的目的不是探究幾種解法，而是通過一題多解，學(xué)會綜合運用所學(xué)知識，發(fā)展思維能力，訓(xùn)練思維的靈活性和深刻性.

3.引導(dǎo)學(xué)生一題多變，培養(yǎng)思維發(fā)散性

所謂一題多變是指根據(jù)問題的性質(zhì)或特征與考察的知識或能力，按照一定的梯度、廣度、深度進行遷移，類比或拓展、延伸.一題多變以中心問題為依托，實現(xiàn)由點到面的擴展，充分發(fā)揮中心問題的輻射功能，從而有助于強化深化相關(guān)問題及解題思維系統(tǒng)性的理解和掌握，有助于增加課堂的知識容量和思維容量，提高課堂效率.

例3 四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，問圖中有幾個直角三角形?(人教版高中數(shù)學(xué)第三冊下B第24頁第3題.)

變式一：若A在PB、PC、PD上的射影分別為E、F、G，求證：AE⊥面PBC.

變式二：求證：變式一中A、E、F、G四點共面.

變式三：求證P、A、B、C、D五點共球.

變式四：若設(shè)BD=3，AP=1，求A、C兩點間的球面距離.

這一組變式題由淺入深，由表及里，知識跨度大，引導(dǎo)學(xué)生探究，可使學(xué)生的立體幾何知識體系經(jīng)歷一次部分到整體，再由整體到部分的大循環(huán)，可極大地提高學(xué)習(xí)效果.

4.引導(dǎo)學(xué)生編題訓(xùn)練，培養(yǎng)知識遷移能力

一題多變是一種創(chuàng)造性勞動，教師除了自己精心設(shè)計變式外，還要注意引導(dǎo)學(xué)生編題.下面是一位學(xué)生在學(xué)習(xí)探究過程中的一次編題個案：

進入高三第一輪復(fù)習(xí)，我們在老師的指導(dǎo)下，一方面對教材上的概念、例題、習(xí)題等逐章逐節(jié)研究，另一方面對近幾年的高考命題也展開研究.我在對04與05年有關(guān)“線性規(guī)劃”試題研究中，發(fā)現(xiàn)04年的相關(guān)試題緊扣教材的試題原型，其形式單一，內(nèi)容簡單；而05年的相關(guān)試題的問題情景發(fā)生了改變，有考查與三角形交匯的問題，如05年浙江卷；有考查與直線交匯的問題，如05年江西卷；有考查與概率統(tǒng)計交匯的問題，如05年遼寧卷.當(dāng)我們在復(fù)習(xí)函數(shù)時，我突發(fā)奇想：線性規(guī)劃問題可以與函數(shù)交匯嗎?

有了這種想法，我就多了一條搜尋線索.有一次我發(fā)現(xiàn)一道這樣的函數(shù)題：

題1 如右圖：等腰梯形ABCD的兩底分別為AB=2a,DC=a,∠DAB=π

4，作直線MN⊥AB，交AB于點M，交折線ADCB于N，設(shè)AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示成x的函數(shù)，并寫出其定義域.

解答過程中，我發(fā)現(xiàn)上圖中直線MN的左側(cè)陰影部分是一個變化的平面區(qū)域，倘若在圖中引入平面直角坐標(biāo)系，將梯形的四條邊所圍的區(qū)域看成可行域，就可以創(chuàng)設(shè)一個“線性規(guī)劃”新題.

變式1：試作出由不等式0≤y≤a2

y≤x

x+y≤2a所確定的可行域.

變式2：試求出由不等式組0≤y≤a2

y≤x

x+y≤2a所圍成區(qū)域的面積.

但題1中的陰影部分也是一個變化的平面區(qū)域，它是 由可移動直線MN確定，又直線MN的位置由AM=x中的x確定，倘若我們引入一個可移動的區(qū)域與變式1中的可行域相交，就可以得到一個與函數(shù)交匯的線性規(guī)劃創(chuàng)新題.

這對培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力與創(chuàng)新能力有極其重要的作用.另外，問題來源于學(xué)生，又讓他們?nèi)ソ鉀Q自己變化出來的問題，可想學(xué)習(xí)的興趣將會何等高漲.

5.引導(dǎo)學(xué)生串題分析，引發(fā)課題探究

數(shù)學(xué)題目繁星閃爍，千變?nèi)f化，但并非孤立無聯(lián)系，在解題中我們總會碰到一些似曾相識的問題，此時，應(yīng)停下腳步，引導(dǎo)學(xué)生把這些問題串在一起，從命題形式和解題方法上加以對比，分析研究，抽象概括，由感性經(jīng)驗上升到理性認(rèn)識，獲得對這一類問題的本質(zhì)理解.這實際上是一種類似課題研究的探究，對深化學(xué)生對問題的認(rèn)識，提高解題能力有極大的幫助.

例4 在高三復(fù)習(xí)中碰到這樣一系列問題：

(1)若|x-(a+1)22|≤(a-1)22與x2-3(a+1)

x