一般化與特殊化是人類認識事物的兩個重要側面，也是解題的兩種基本策略，它們相輔相成，是辯證的統(tǒng)一.在多數(shù)場合，特殊問題簡單、直觀，容易認識，容易把握.但是，也有一些場合，特殊問題的個別特性可能會掩蓋事物的本質屬性，給解題帶來困難，而直接求解相應的一般性問題，反而來得簡便、明快、奇巧.

一、平起平坐 互為因果

通常情況下，特殊不能代替一般；但有時，特殊命題確實能與一般命題等價.

利用特殊與一般等價解決問題，有兩種基本形式：其一是特殊借助于一般使問題獲得解決；其二是一般借助于特殊使問題獲得解決.

例1 下列兩個命題是否等價?為什么?

命題1 設a璱>0(i=1,2,…，n)，則a1+a2+…+a璶n≥na1a2…a璶，當且僅當a1=a2=…=a璶時，等號成立.

命題2 設a璱>0(i=1,2,…，n)，且a1a2…a璶=1，則a1+a2+…+a璶≥n，當且僅當a1=a2=…=a璶時，等號成立.

分析：(1)命題2是命題1的特殊情況，由命題1當然能推出命題2.

(2)考察下列n個正數(shù)：a1na1a2…a璶,a2na1a2…a璶,…，a璶na1a2…a璶,由于它們的積為1，故a1na1a2…a璶+a2na1a2…a璶+…+a璶na1a2…a璶≥n，即a1+a2+…a璶n≥na1a2…a璶.

∴由命題2能推出命題1.

由(1)(2)可知，命題1與命題2等價.這樣，我們就發(fā)現(xiàn)了一件非常有趣的事情：有時特殊命題與一般命題等價.

這項發(fā)現(xiàn)并非只有理論上的價值.事實上，既然有時“特殊命題與一般命題等價”，我們想要證明一般命題1，只要證明特殊命題2就可以了.顯然，證明命題2要比證明命題1來得容易(命題2可用數(shù)學歸納法證明).

例2 設a,b,c,d,e都是正整數(shù)，且滿足a+b+c+d+e=abcde,求e的最大值.

分析：由條件等式的對稱性，可知e的最大值也是a,b,c，d的最大值，對a、b、c、d、e進行排序，得到一個相應的特殊問題，從而便于放縮，使問題得解.

解：由條件等式的對稱性，不妨設a≤b≤c≤d≤e.由題設，有a+b+c+d+eabcde=1=1bcde+1acde+1abde+1abce+1abcd≤1de+1de+1de+1e+1d=3+d+ede.即de≤3+d+e,

(d-1)(e-1)≤4.

下面分兩種情形討論：

(1)若d=1，則由排序假設有a=b=c=d=1，從而4+e=e，這是不可能的.

(2)若d>1,則e-1≤4，即e≤5.而當e=5時，容易找到滿足條件的一組解a=b=c=1,d=2,e=5，即e=5是可能的.即e的最大值為5.

二、高屋建瓴 勢如破竹

當我們面臨的是一個計算比較復雜或內在聯(lián)系不甚明顯的特殊問題時，要設法把特殊問題一般化，找出一個能夠揭示事物本質屬性的一般性問題，以便利用解決一般情形的方法、技巧或結果，順利解出原題，這就是一般化策略.這種策略是通過找出特殊問題的一般原型，把特殊問題從原有范圍擴展到較大范圍來進行考察，從而使得我們能在更一般、更廣闊的領域中使用更靈活的方法去尋求化歸的途徑.

用一般化策略解決數(shù)學問題的思維過程為：

一般化策略能否奏效，關鍵在于一般化命題是否比需解的特殊命題易于求解.

例3 證明：11+12+13+…+11000>1000.

分析：將上述命題一般化，即證明11+12+13+…+1n>n(n>1,n∈N).這是有關自然數(shù)的問題，可考慮用數(shù)學歸納法證明.

證明：(1)當n=2時，1+12=2×2+12>2，命題成立.

(2)假設當n=k(k≥2,k∈N)時，命題成立，即11+12+13+…+1k>k.于是有11+12+13+…+1k+1k+1>k+1k+1=k+1×k(k+1)+1k+1>k+1.即當n=k+1時命題也成立.

由(1)、(2)可知一般化命題成立.現(xiàn)取n=1000，即證得原不等式.

由此可見，有時一般化命題比特殊命題易解，主要是因為一般化命題中包含了一批特殊命題，并且把這些特殊命題有機地結合起來，這比孤立地看一個特殊命題較易看清規(guī)律以及它們之間的屬性的差異.

一般化策略是解決問題的有效方法，也是科學探索的常用方法.實施一般化策略通常有以下三個步驟：

(1)要從不同的側面分析題目的特征，找出能使題目一般化的有關因素；

(2)從不同的因素入手，通過抽象、概括或猜想，常?？梢缘玫蕉喾N一般性問題，要力求從中找出最接近于特殊問題本質，又為自己所熟悉、易于解答的一般性問題；

(3)在返回原問題的過程中，要注意一般性問題與特殊問題之間的差別，針對這種差別，采取不同的方法或技巧，以便順利地過渡到原題的解答上.

三、擊中一點 牽動全局

從特殊到一般是人類認識客觀事物的一種規(guī)律.對于一個一般性的問題，先研究它的某些特殊情形，從而獲得解決問題的途徑，使問題得以“突破”，這種解決問題的策略稱為特殊化策略.共性孕育在個性之中.人們總是首先認識了許多不同事物的特殊本質，然后才有可能更進一步地作概括，認識諸種事物的共同本質.特殊化策略，正是特殊與一般的辯證關系在解題中的靈活運用，它生動地體現(xiàn)了認識過程中以退為進的思想方法.

“在討論數(shù)學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.”(希爾伯特語).對個別特殊情況的討論，常能凸現(xiàn)問題的關鍵，揭示問題的本質.

用特殊化策略解決問題的思維過程，可用框圖表示如下：

有一些數(shù)學問題，求解特殊化問題的關鍵性步驟，就是求解一般化問題的關鍵性步驟.因此，我們要注意從相應的特殊化問題求解中尋求有益啟示，發(fā)現(xiàn)一般化問題的解題關鍵.

例4 試證明一個周長為2l的封閉曲線一定可以被一個直徑為l的圓蓋住.

分析：直接著手證明一時看不到頭緒，我們不妨先從特殊的情形入手.比如，分析周長為2l的平行四邊形的情形.設ABCD是周長為

2l的平行四邊形(如圖1)，由于OD=12BD≤12?(BC+CD)=l2.同理：OC≤l2.

顯然，這個平行四邊形能被以O點為圓心，直徑為l的圓蓋住.

對于周長為2l的任意形狀的封閉曲線(如圖2)，設A，C兩點恰好把這封閉曲線平分為長為l的兩段，O是線段AC的中點，P是該曲線上任意一點，連接PO，PA，PC，則有PO≤12(AP+CP)≤l2(曲線AP的長+曲線CP的長)=12曲線AC的長=12l.

所以P在一個以O為圓心，直徑為l的圓內或圓上.

因為P是該曲線上的任一點，所以該封閉曲線一定可以被一個直徑為l的圓蓋住.

將一般問題特殊化，通常并不難，只須針對所研究的對象添加某些限制或適當加強某些條件即可.但是，一個一般問題經過不同的特殊化處理可以得到若干個不同的特殊問題，需要指出的是：將一般問題特殊化，求解能否奏效的關鍵是能否找到一個在解題中起主導作用的特殊問題.比較理想的特殊問題，既要求它本身容易解決，又能由它的解法發(fā)現(xiàn)一般問題的解法.

四、協(xié)同運用 出奇制勝

對于有些數(shù)學問題，特殊化與一般化這兩種解題策略必須協(xié)同運用，才能順利解決.

例5 能否將n個正方形剪拼成一個大的正方形?

分析：這里要解決的是個數(shù)為n的一般性問題，結論尚屬未知.

先考察一個最簡單的特殊情形——將兩個邊長相等的正方形S1與S2剪拼成一個正方形S12，可按圖3所示的方法剪拼而成.

這種特殊情況是將一般情況經兩次特殊化(正方形個數(shù)特殊化、邊長特殊化)而得到的.在這種特殊情況下剪拼方法一目了然.為了將其推向一般，我們也可分兩步走.

第一步，考慮兩個大小不同的正方形的情況.

第二步，考慮n個任意正方形的情況.

為將上述剪拼法推向兩個大小不同的正方形，我們來對它作一定量的分析.要剪拼出新正方形S12，只需計算出其邊長以及確定裁剪的路線.由圖3，S12的一邊x與S1的一邊a和S12的一邊a恰好組成一個直角三角形，x為斜邊，a,a為兩直角邊.據(jù)此我們猜想：對兩個邊長分別為a,b的正方形S1，S2來說，比照上述做法，以a,b為兩直角邊作直角三角形，再以其斜邊為邊長和裁剪路線，也能剪拼出一個新的正方形S12來.

實際驗證說明上述猜想是正確的(如圖4).

如果給定三個正方形S1，S2，S3，那么我們可用上述方法先將S1，S2剪拼成一個正方形S12，再將S12與S3剪拼成一個正方形S123.

由歸納法我們得出關于一般性問題的猜想：任意n個正方形都可以剪拼成一個正方形.

由類比法我們還可得出關于證法的猜想：設給定n個正方形S1，S2，…，S璶，先將S1與S2按上述方法剪拼成一個正方形S12；再將S12與S3剪拼成一個正方形S123；…，最后將S12…(n-1)與S璶剪拼成一個正方形S12…n.

我們發(fā)現(xiàn)，上述做法有遞推關系，故我們不必一個一個地去驗證，可使用數(shù)學歸納法，做一次驗證就可以了.

證明：(數(shù)學歸納法)

當n=2時，按圖4所示的方法，可將任意

兩個給定的正方形剪拼成一個正方形.

假設k(k≥2)個正方形能剪拼成一個正方形，那么，對給定的k+1個正方形，我們可先將前k個剪拼成一個正方表S12…k，再將S12…k與S﹌+1剪拼成一個正方形S12…k(k+1).

∴能將n個正方形剪拼成一個大的正方形.

上述過程可用框圖簡示如下：

這也是一般化與特殊化協(xié)同解決數(shù)學問題的一般模式.

參考文獻

［1］何華興主編.數(shù)學思想方法［M］.上海：百家出版社，2001.

［2］顧泠沅主編.數(shù)學思想方法［M］.北京：中央廣播電視大學出版社，2004.

［3］殷堰工.數(shù)學解題策略精編［M］.上海：上海科技教育出版社，1994.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>