蔡飛慶

作為高中數(shù)學(xué)教師，用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)和方法來(lái)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，溝通高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神與創(chuàng)新能力，將是新形勢(shì)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)追求的一個(gè)新的目標(biāo).本文通過(guò)對(duì)幾個(gè)案例的分析，談?wù)勅绾斡酶叩葦?shù)學(xué)指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)實(shí)踐.

一、探源追本，拓廣視角

在高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接處，用高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景編寫(xiě)的一些不脫離中學(xué)實(shí)際的高考題已屢見(jiàn)不鮮，故應(yīng)站在高等數(shù)學(xué)的高度探析其命題背景和創(chuàng)意，拓廣解題視角.

案例1 (2001年高考全國(guó)卷20題)已知i,m,n是正整數(shù)，且1

(1)證明n琲P琲璵

(2)證明(1+m)琻>(1+n)琺.

背景解析：這是一道融排列、組合、二項(xiàng)式定理、不等式知識(shí)于一體的絕妙好題，本源是對(duì)數(shù)發(fā)明過(guò)程中研究數(shù)列{(1+1n)琻}的性質(zhì)時(shí)所產(chǎn)生的問(wèn)題.高等數(shù)學(xué)中有如下結(jié)論：數(shù)列{(1+1n)琻}單調(diào)遞增，且(1+1n)琻<3(其中n∈N*)；數(shù)列{(1+1n)﹏+1獇單調(diào)遞減，且(1+1n)﹏+1>2;

編題思維探析：由{(1+1n)琻}單調(diào)遞增可以推得{(1+n)1n}單調(diào)遞減，即對(duì)正整數(shù)m,n(m(1+n)1n，這就是題1第(2)小題 的背景本質(zhì)；而(1+1n)琻<3的證明過(guò)程中體現(xiàn)的逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)比較的方法 則可看成是該高考題第(1)小題的由來(lái).

啟示：高等數(shù)學(xué)中有些經(jīng)典問(wèn)題的處理方法既是數(shù)學(xué)的精髓所在，也是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)潛能的培養(yǎng)關(guān)鍵所在.作為一名高中數(shù)學(xué)教師必須具備相當(dāng)?shù)母叩葦?shù)學(xué)功底，才能詳解高考試題的來(lái)龍去脈，對(duì)高考趨勢(shì)進(jìn)行展望；才能站在比較高的位置，對(duì)學(xué)生進(jìn)行有的放矢的高效教學(xué).

二、激趣陶情，解疑釋惑

1.許多高等數(shù)學(xué)素材往往能引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，具有激起激疑的良好功效.因而以高等數(shù)學(xué)素材熏陶學(xué)生，必將有利于教材的合理組織和教學(xué)的有效開(kāi)展.

案例2 (蒲豐投針實(shí)驗(yàn))用尺畫(huà)一組相距為1的平行線，一根長(zhǎng)為12的針扔到畫(huà)了線的平面上，若跟平行線相交，則稱(chēng)“扔出有利”.這樣扔若干次，你會(huì)驚奇的發(fā)現(xiàn)，“扔出有利”的概率為1π，而且扔的總次數(shù)越多，由此得到的π的值越精確.

解析：在概率教學(xué)中介紹利用概率知識(shí)計(jì)算圓周率的方法，既可以使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)文化的熏陶，感受古代數(shù)學(xué)家的智慧；也會(huì)使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的神奇，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

2.中學(xué)數(shù)學(xué)中很多問(wèn)題或錯(cuò)誤，站在初等數(shù)學(xué)的角度上是很難解決或發(fā)現(xiàn)的；倘若能站在高等數(shù)學(xué)的角度，溝通初、高聯(lián)系，居高臨下釋疑，將會(huì)更有利于學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的精髓及其后續(xù)發(fā)展.

案例3 初學(xué)函數(shù)時(shí)，關(guān)于函數(shù)圖像與周期，學(xué)生中往往有這樣兩個(gè)典型錯(cuò)誤觀點(diǎn)：

①任何函數(shù)都有圖像；②任何周期函數(shù)必有最小正周期.

這時(shí)只需介紹高等數(shù)學(xué)中重要函數(shù)——獶irichlet函數(shù)，即可輕松解決學(xué)生的疑惑.獶irichlet函數(shù)是如下定義的函數(shù)：

D(x)=1,x為有理數(shù)

0,x為無(wú)理數(shù)

由于實(shí)數(shù)是稠密的，因此該函數(shù)的圖像實(shí)際上是畫(huà)不出來(lái)的；任意非零有理數(shù)都是該函數(shù)的周期，而不存在最小正有理數(shù)，故獶irichlet函數(shù)也無(wú)最小正周期.筆者在實(shí)際教學(xué)中引入了這個(gè)容易讓學(xué)生理解接受的獶irichlet函數(shù)，使學(xué)生更為深刻的理解到函數(shù)相關(guān)概念的內(nèi)涵，獲得了良好的教學(xué)效果.利用高等數(shù)學(xué)素材進(jìn)行難點(diǎn)釋疑，原則是不能脫離中學(xué)數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)和教材；在重要概念和知識(shí)聯(lián)系上做必要的拓寬，是教學(xué)中介紹高等數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)把握的“度”的要求.

三、縱橫聯(lián)系，融會(huì)貫通

以高等數(shù)學(xué)的思想方法來(lái)指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)教學(xué)，可以統(tǒng)一中學(xué)數(shù)學(xué)的松散體系，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題系統(tǒng)地加以思想上的總結(jié)和方法論方面的提煉；同時(shí)，以高等數(shù)學(xué)的思想方法來(lái)指導(dǎo)總結(jié)，可以幫助學(xué)生改變綜合復(fù)習(xí)中的“題海戰(zhàn)術(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而將頭腦中分散的知識(shí)點(diǎn)連成有機(jī)的知識(shí)整體.

案例4 不等式證明是高中階段的常見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，隨著向量、概率等內(nèi)容進(jìn)入新教材，利用向量和概率知識(shí)證明不等式的相關(guān)研究便層出不窮；站在高等數(shù)學(xué)的角度上反思這些方法，發(fā)現(xiàn)它們?cè)瓉?lái)具有某種內(nèi)在統(tǒng)一性.

(一)向量方法

(1)方法依據(jù)：向量?jī)?nèi)積不等式|a?b遼≤﹟a遼?|b遼及可由此推導(dǎo)的三角不等式|a+b遼≤|a遼+|b遼.

實(shí)際形式：若令a=(a1,a2…，a璶),b=(b1,b2…，b璶),即可將內(nèi)積不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式(a1b1+a2b2+…+a璶b璶)2≤(a21+a22+…+a2璶)?(b21+b22+…+b2璶),這也是運(yùn)用向量證明不等式的主要形式.

(2)理論依據(jù)：上升到高等數(shù)學(xué)中內(nèi)積空間的層面上，|a?b遼≤|a遼?|b遼也可稱(chēng)為“柯西不等式”，證明方法是構(gòu)造二次函數(shù)；在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中直接定義了向量?jī)?nèi)積a?b=|a遼?|b遼?玞osθ，從而利用|玞osθ|≤1立即證得|a?b遼≤﹟a遼?|b遼成立.

(二)概率方法

(1)方法依據(jù)：利用概率知識(shí)證明不等式主要依據(jù)以下兩個(gè)結(jié)論：

①n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,…，x璶的方差S2=1n∑ni=1(x璱-)2=1n∑ni=1x2璱-1n(∑ni=1x璱)2≥0；

②離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=p璳,k=1,2,…，n，則Eξ2≥E2ξ.

(2)實(shí)際形式：研究相關(guān)文章不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用以上兩個(gè)結(jié)論的實(shí)際形式分別為：

③已知x1,x2,…，x璶∈R，則n?(x21+x2瓁+…+x2璶)≥(x1+x2+…+x璶)2；

④已知0

而③④不難由(a1b1+a2b2+…+a璶b璶)2≤(a21+a22+…+a2璶)?(b21+b22+…+b2璶)證明，因此可以說(shuō)是柯西不等式的兩個(gè)推論.

(3)理論根源:在概率論中，①②實(shí)際上是下面定理的特例；⑤柯西—施瓦茨不等式；對(duì)任意隨機(jī)變量ξ，η，有|Eξη|2≤Eξ2Eη2，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)t0使P(η=t0ξ)=1.

通過(guò)以上總結(jié)分析可知，從實(shí)際形式、理論根源等方面來(lái)說(shuō)，證明不等式的向量方法和概率方法，與常見(jiàn)的柯西不等式具有內(nèi)在統(tǒng)一性.在實(shí)際教學(xué)中，以柯西不等式的反思總結(jié)為橋梁，可以溝通新增內(nèi)容與不等式知識(shí)間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)新、舊知識(shí)和思想方法的融合，從而有效促進(jìn)新增內(nèi)容的教學(xué)和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建.

四、梳理歸類(lèi)，挖潛添能

分段函數(shù)的構(gòu)造、遞推關(guān)系、極限方法的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、折紙術(shù)、函數(shù)圖像的凸性的一些特性等具有高等數(shù)學(xué)傾向的問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)新教材的選修系列中已有所體現(xiàn)，在歷年高考中也屢屢出現(xiàn)，對(duì)相關(guān)的高考題進(jìn)行梳理歸類(lèi)，用以指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，增添其解答創(chuàng)新題的能力和理論素養(yǎng)就顯得非常迫切.

現(xiàn)僅以高等數(shù)學(xué)中凸函數(shù)為背景的高考題為例，淺談如何在高中數(shù)學(xué)中滲透高數(shù)知識(shí)，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能和提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

案例5 題1：(1994年全國(guó)高考題)已知函數(shù)f(x)=玹an玿,x∈(0,π2)，且x1≠x2，證明f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22).

題2：(2005年湖北高考題)在y=2瑇,y=玪og2x,y=x2,y=玞os2x這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)0f(x1+x22)恒成立的函數(shù)個(gè)數(shù)是().

A.0 B.1 C.2 D.3

追源：高等數(shù)學(xué)中凸函數(shù)的概念：設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1,x2和任意實(shí)數(shù)λ∈(0,1)，總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱(chēng)f為I上的凸函數(shù)；反之，若f(λx 1+(1-λ)x2)≥│薴(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱(chēng)f為I上的凹函數(shù).當(dāng)λ∈(0,1)時(shí)，λx1+(1-λ)x2表示的點(diǎn)在x1,x2之間.高中課本中出現(xiàn)的問(wèn)題只不過(guò)是λ=12的情形.

實(shí)踐：在函數(shù)的教學(xué)中，講到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖像滲透凹凸函數(shù)的圖像特征，讓學(xué)生通過(guò)函數(shù)圖像認(rèn)識(shí)接受高等數(shù)學(xué)中凸函數(shù)定義的外在表象.

如圖：記A(x1,f(x1)),B(x1+x22,ゝ(x1+x22)),狢(x1+x22,f(x1)+f(x2)2),〥(x2,f(x2)).在圖1中，f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2.教學(xué)實(shí)踐中，先讓學(xué)生理解上

述兩個(gè)圖像的意義，再簡(jiǎn)單介紹圖像下凹的簡(jiǎn)稱(chēng)為凹函數(shù)，圖像上凸的簡(jiǎn)稱(chēng)為凸函數(shù).讓學(xué)生從凹凸函數(shù)的圖像特征著手，深刻記憶凹凸函數(shù)f(x1+x22)鹒(x1)+f(x2)2的外在表象.至于凹凸函數(shù)的具體定義則不需要引入，也沒(méi)必要講解.這樣既能滲透高數(shù)知識(shí)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能；又能讓學(xué)生碰到相似情境的問(wèn)題時(shí)不至于無(wú)從下手.

綜上所述，作為高中數(shù)學(xué)教師，用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)和方法來(lái)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，溝通高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神與創(chuàng)新能力，應(yīng)該是新形勢(shì)下激活中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條有效途徑.

參考文獻(xiàn)

［1］董裕華.高等數(shù)學(xué)背景下的高考數(shù)學(xué)命題探析.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2007，(4).

［2］任念兵.高等數(shù)學(xué)背景下的高考不等式問(wèn)題.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2006，(3).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>