耿京娟

在生活中,我們經(jīng)常需要求出某個正數(shù)的平方根的近似值.那么,通常采用什么方法呢?課本中介紹了查表的方法?使用計算器的方法和筆算開平方法,這些都是十分實用的.但有時手邊沒工具,又需要很快知道某一正數(shù)開方的近似結(jié)果,那怎么辦呢?下面我們介紹另一種速算的方法.

假定我們要求的近似值.因為32=9,42=16,據(jù)此知道比3大,比4小.不妨設(shè)=3+b,b是一個正的純小數(shù).兩邊平方得到13=9+6b+b2,因為b2是一個比b還小得多的正純小數(shù),舍去b2得到13≈9+6b,所以b≈==≈067,于是得到的一個近似值為3.67.若我們要得到更精確的近似值,那么,可以以第一次得到的近似值為基礎(chǔ),設(shè)=3+c,c是一個絕對值較小的正數(shù)或負(fù)數(shù).兩邊平方得13=+c+c2,舍去c2,得到13≈+c.c≈=-=-≈-006,于是就有=367-006=361,就得到的第二次近似值為361.

觀察上面的計算過程就會發(fā)現(xiàn),在式子=3+b和=3+c中,3或3是接近于的一個有理數(shù),b或c用分?jǐn)?shù)表示時,它的分子是被開方數(shù)13與接近于的數(shù)的平方之差,分母是接近于的數(shù)的2倍,即有=≈3+,=≈-.

由此我們可以看到,這其中隱藏著某種規(guī)律性的東西,用式子表示出來就是≈a+.這一規(guī)律,我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》里(約公元263年前后)就已提及.不僅如此,書中還提到,在非平方數(shù)的場合,有另一近似表達式≈a+,并指出平方根的值在上述兩個近似值之間,即a+<

例如,如果我們?nèi)=,b=-,就可以很快求出古代巴比倫人給出的的近似值.

如果我們?nèi)=,b=,就可以得到的第一次近似值≈173,從出發(fā),就可求出的第二次近似值≈1732 051 2.這一結(jié)果是古希臘偉大數(shù)學(xué)家阿基米德在他的著作中給出的的一個近似值.與的差小于0000 000 5

如果我們?nèi)=35,b=0.25,就可迅速求出≈3536,它與課本上的筆算開平方得到的結(jié)果≈354是一致的.

求平方根的這種速算法對解決一些小題比較有用,比如比較兩個無理數(shù)的大小,這時不要求求出非常精確的結(jié)果,只要求出一個近似值即可.

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