陳德前

規(guī)律探索問題是一類常見的問題,也是同學(xué)們感到比較棘手的問題,下面以2008年中考試題為例,來談?wù)勥@類問題的解法.

例1(宜賓市)如圖1,將一列數(shù)按圖中的規(guī)律排列下去,那么問號(hào)處應(yīng)填的數(shù)字為.

觀察可以發(fā)現(xiàn),4 = 1 + 3,6 = 4 + 2,9 = 6 + 3,13 = 9 + 4,19 = 13 + 6,于是可以猜想,從第4個(gè)數(shù)起,每個(gè)數(shù)都是它前面的一個(gè)數(shù)和前面的第三個(gè)數(shù)的和,于是問號(hào)處應(yīng)填的數(shù)字為19 + 9 = 28.

例2 (泰州市)讓我們輕松一下,做一個(gè)數(shù)字游戲:

第一步:取一個(gè)自然數(shù)n1 = 5,計(jì)算n12 + 1得a1;

第二步:算出a1的各位數(shù)字之和得n2,計(jì)算n22 + 1得a2;

第三步:算出a2的各位數(shù)字之和得n3,計(jì)算n32 + 1得a3;

……

依此類推,則a2 008 = .

這是一道設(shè)計(jì)新穎?具有一定挑戰(zhàn)性的好題,解題的關(guān)鍵是從特殊情況入手,找出規(guī)律,再應(yīng)用規(guī)律去解決問題.經(jīng)過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn),a1 = 25 + 1 = 26,a1的各位數(shù)字之和n2 = 2 + 6 = 8,a2 = 64 + 1 = 65,a2的各位數(shù)字之和n3 = 6 + 5 = 11,a3 = 121 + 1 = 122,a3的各位數(shù)字之和n4 = 1 + 2 + 2 = 5,a4 = 25 + 1 = 26 …… 依此類推,可見這是一個(gè)按3個(gè)數(shù)為一個(gè)周期的循環(huán)數(shù)列,a2 008與a1的值相同,為26.

例3 (濰坊市)圖2中的每個(gè)圖是由若干個(gè)圓點(diǎn)組成的形如四邊形的圖案,當(dāng)每條邊(包括頂點(diǎn))上有n(n ≥ 2)個(gè)圓點(diǎn)時(shí),圖案的圓點(diǎn)數(shù)為Sn.

n = 2,S2 = 4 n = 3,S3 = 8n = 4,S4 = 12

圖2

按此規(guī)律推斷Sn關(guān)于n的關(guān)系式為:.

我們來根據(jù)給出的3個(gè)圖形探究規(guī)律,看看哪些是不變量,哪些是變量,變量的變化規(guī)律是什么.在已知的3個(gè)圖形中,四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)各有一個(gè)圓點(diǎn);第1個(gè)圖形中除了四個(gè)頂點(diǎn)外,邊上沒有圓點(diǎn),與序號(hào)n = 2對(duì)應(yīng)可寫成4 + (2 - 2) × 4 = 4;第2個(gè)圖形中除了四個(gè)頂點(diǎn)外,邊上有各有1個(gè)圓點(diǎn),與序號(hào)n = 3對(duì)應(yīng)可寫成4 + (3 - 2) × 4 = 8;第3個(gè)圖形中除了四個(gè)頂點(diǎn)外,邊上各有2個(gè)圓點(diǎn),與序號(hào)n = 4對(duì)應(yīng)可寫成4 + (4 - 2) × 4 = 12;因此第n個(gè)圖形中共有[4 + (n - 2) × 4]個(gè)點(diǎn).還可以這樣理解:當(dāng)n = 2時(shí),每邊有2個(gè)點(diǎn),共(4 × 2)個(gè)點(diǎn),頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了1次,所以共有(4 × 2 - 4)個(gè)點(diǎn);當(dāng)n = 3時(shí),每邊有3個(gè)點(diǎn),共(4 × 3)個(gè)點(diǎn),頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了1次,所以共有(4 × 3 - 4)個(gè)點(diǎn);當(dāng)n = 4時(shí),每邊有4個(gè)點(diǎn),共(4 × 4)個(gè)點(diǎn),頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了1次,所以共有(4 × 4 - 4)個(gè)點(diǎn);因此第n個(gè)圖形中共有(4n - 4)個(gè)點(diǎn).你還有其他的方法嗎?寫出來與大家交流吧!

在解決規(guī)律探索題時(shí),要重視試驗(yàn),試驗(yàn)是基礎(chǔ),試驗(yàn)是思維的啟動(dòng)器;要注意觀察,觀察是關(guān)鍵,不注意觀察就不會(huì)有發(fā)現(xiàn);要善于猜想,猜想是核心,不善于猜想就找不到規(guī)律.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文