對稱是一種客觀存在. 大千世界，許多事物都具有某些對稱性，如：一朵紅花，一片綠葉，一只色彩斑斕的蝴蝶等. 對稱給人們以和諧均衡的美感.

對稱又是一個數(shù)學(xué)概念. 初中學(xué)生所熟悉的有代數(shù)中的對稱式，幾何中的軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)對稱等，更一般情況是，許多數(shù)學(xué)問題所涉及的對象具有對稱性，不僅包括幾何圖形中的對稱，而且泛指某些對象在有些方面如圖形、關(guān)系、地位等同彼此相對又相稱.

對稱更是一種思想方法. 運(yùn)用對稱性解決問題，既可以減少一些繁瑣的計(jì)算，使解題方法簡潔明快，又可以拓展學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

下面通過具體的數(shù)學(xué)解題來看對稱性在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用.

1 運(yùn)用對稱性解幾何說明題

例1 如圖1，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的動點(diǎn)，且AE=AF. 試說明在運(yùn)動過程中，△CEF是否是等腰三角形?

解法1 通過求證△FDC≌△EBC解答. (解答過程省略)

解法2 在運(yùn)動過程中△CEF是等腰三角形.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以以AB與AD關(guān)于AC對稱；

又因?yàn)閯狱c(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=AF，

所以點(diǎn)E與點(diǎn)F始終關(guān)于AC對稱，

所以EC與FC關(guān)于AC對稱，

所以EC=FC，所以△CEF是等腰三角形.

說明 對于此題，大部分學(xué)生能想到運(yùn)用全等來解答，但不一定想到利用對稱性解答，教師應(yīng)抓住教學(xué)的機(jī)會滲透對稱思想方法，以拓展學(xué)生解題思路.

圖1 圖2例2 如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點(diǎn)P在△ABD內(nèi)部. 試說明：∠APB>∠APC.

解 作點(diǎn)P關(guān)于AD的對稱點(diǎn)P1，連接PP1并延長交AC于點(diǎn)E，

因?yàn)椤鰽BC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，

所以點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于AD對稱，

又因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)P1關(guān)于AD對稱，點(diǎn)A在AD上，

所以△ABP與△ACP1關(guān)于AD對稱，

所以∠APB=∠AP1C，

因?yàn)椤螮P1C是△PP1C的外角，

所以∠EP1C>∠EPC，同理∠EP1A>∠EPA，

所以∠AP1C>∠APC，所以∠APB>∠APC.

例3 如圖3，在△ABC中∠C=90°，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC上，且∠EMF=90°，試說明：AE²+BF²=EF².

解 如圖3，延長EM到點(diǎn)D，使DM=EM，連接BD、FD，

因?yàn)镕M⊥ED，且MD=ME，所以由軸對稱性得EF=DF，

因?yàn)锳B、ED互相平分于點(diǎn)M，

所以△AME和△BMD關(guān)于點(diǎn)M成中心對稱，

所以AE=BD，∠A=∠DBA，

又因?yàn)镽t△ABC中，∠A+∠ABC=90°，

所以∠DBA+∠ABC=90°，即∠DBF=90°，

在Rt△BFD中，∠DBF=90°，

所以BD²+BF²=FD²，所以AE²+BF²=EF².

說明 用對稱性解幾何說明題，不僅要充分利用幾何圖形的對稱性，而且還要根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行軸對稱變換、中心對稱變換、旋轉(zhuǎn)對稱變換，通過對稱變換創(chuàng)造對稱性.

圖3 圖42 運(yùn)用對稱性求最值

如圖4，A、B為直線l同側(cè)兩定點(diǎn)，作A點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)A1，連接A1B交l于P，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可知P為l上使PA+PB值最小的點(diǎn). 這種軸對稱變換在解決相關(guān)最值問題時有廣泛的應(yīng)用.

例4 如圖5，點(diǎn)P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，MP+NP的最小值是.

解析 M、N為AC同側(cè)兩定點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，所以AD的中點(diǎn)H與點(diǎn)M關(guān)于AC對稱，所以HP=MP，則MP+NP=HP+NP，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)P在HN與AC的交點(diǎn)E處時，MP+NP的值最小. 根據(jù)平行四邊形的相關(guān)知識可求出MP+NP的最小值為1.

圖5 圖6例5 如圖6，平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)A(0，3)，直線l：x=3，若一個動點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先達(dá)到x軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E)，再達(dá)到直線l上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F)，最后運(yùn)動到點(diǎn)A. 求：使點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個最短總路徑的長.

解析 作點(diǎn)M關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)M1(0，-32)，點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)A1(6，3)，由對稱性可知ME=M1E，AF=A1F，連接M1A1，根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在M1A1與x軸、直線l的交點(diǎn)上時，點(diǎn)P的運(yùn)動總路徑最短；由點(diǎn)M1、A1兩點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線M1A1點(diǎn)解析式為y=34x-32，從而求出點(diǎn)E坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)F坐標(biāo)為(3，34)，由勾股定理可求出最短總路徑的長為152.

說明 軸對稱變換也是解決彈子游戲、平面鏡成像、光線的反射等問題的主要方法.

3 運(yùn)用函數(shù)圖像的對稱性解決問題

拋物線與雙曲線都是對稱性圖形，巧妙地應(yīng)用它們的對稱性，可以優(yōu)化解題過程.

例6 已知某拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2，0)，B(-3，72)，C(5，72). 求這個拋物線的解析式.

解法1 設(shè)一般式求解(解題過程省略).

解法2 因?yàn)锽(-3，72)、C(5，72)兩點(diǎn)是拋物線上的兩個關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)，所以此拋物線的對稱軸為直線x=1.

又因?yàn)榇藪佄锞€與x軸交于點(diǎn)A(-2，0)，由對稱性可知此拋物線與x軸交于另一個點(diǎn)D(4，0).

據(jù)此可設(shè)此拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4)，將C點(diǎn)坐標(biāo)(5，72)代入求得a=12，

所以這個拋物線的解析式為y=12x²-x-4.

說明 顯然解法2的計(jì)算簡捷，思維活躍，能培養(yǎng)學(xué)生思維能力.

圖7例7 如圖7，雙曲線y=-6x與直線y=kx(k<0)交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作AC垂直y軸于點(diǎn)C，求S△ABC.

解 反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，

直線y=kx過原點(diǎn)，所以A、B兩點(diǎn)必關(guān)于原點(diǎn)對稱.

所以O(shè)A=OB，所以S△AOC=S△BOC，

設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a，b)，則ab=-6. 由題意得AC=|a|，OC=|b|，

所以S△AOC=12AC×OC=12|ab|=3. 所以S△ABC=2S△AOC=6.

說明 對于此題，如果只從交點(diǎn)考慮，問題就難以下手. 運(yùn)用雙曲線的中心對稱性分析此題，問題就迎刃而解了.

4 運(yùn)用代數(shù)中的對稱式解決問題

如果把一個多項(xiàng)式的任意兩個字母互換后，所得的多項(xiàng)式不變就稱這個多項(xiàng)式為對稱式，對稱式的本質(zhì)反應(yīng)的是多元多項(xiàng)式中字母地位相同，一些對稱式的代數(shù)問題，常用最簡對稱式a+b、ab表示將問題解決.

例8 已知x>0，y>0，且x+y=2，求xy的最大值.

解 由已知條件x+y=2是定值，則x大y小，反之y大x小，即x、y是對稱的.

令x=1-k，y=1+k，xy=(1-k)(1+k)=1-k²，當(dāng)k=0時，即x=y=1時xy有最大值1.

說明 x+y、xy是對稱式，根據(jù)x、y是對稱的，令x=1-k，y=1+k，是解決這個問題最巧妙的對稱思想方法.

綜上所述，在解題過程中，如果注意到對稱性并恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用，不僅使復(fù)雜繁瑣的問題得以簡化，而且可以拓展學(xué)生的解題思路，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，使學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力得到培養(yǎng). 因此，教師在平時的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘數(shù)學(xué)形式或圖形的對稱性，自覺地運(yùn)用對稱性特征去分析、解決具體問題，抓住教學(xué)契機(jī)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用對稱思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力.

以上是本人在多年教學(xué)過程中的一點(diǎn)體會，不到之處，敬請專家指正!

參考文獻(xiàn)

[1] 黃東坡. 培優(yōu)競賽新方法(八年級)[M].武漢：湖北人民出版社.2007.154-155.

[2] 王軍.淺析對稱性在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].今日科苑.2006，(6)：86.

作者簡介：鄒平華，女，1962年1月生，大學(xué)本科，現(xiàn)系江蘇江都油田第二中學(xué)數(shù)學(xué)教師(初中)，并擔(dān)任政教主任工作.

在多年的教學(xué)工作中，教學(xué)成績突出，多次被評為市、縣級優(yōu)秀教師及優(yōu)秀班主任. 所寫論文“淺談有理數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透”在《中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊》上發(fā)表，“以不變應(yīng)萬變”、“淺議課堂教學(xué)的引入”分別獲市級二等獎、三等獎.

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