周毅鈞　欒振輝　唐　瓊

（安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽淮南232001）

摘要： 針對(duì)普通齒輪泵存在較大的不平衡徑向力等問題，介紹了無嚙合力齒輪泵的設(shè)計(jì)思想 、結(jié)構(gòu)原理和特點(diǎn),以無嚙合力齒輪泵體積最小為目標(biāo)建立無嚙合力齒輪泵的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱進(jìn)行無嚙合力齒輪泵的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，在滿足約束條件下對(duì)其 主要參數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，得出了優(yōu)化結(jié)果，提高了設(shè)計(jì)精度和設(shè)計(jì)效率。

關(guān)鍵詞：無嚙合力齒輪泵；MATLAB；優(yōu)化設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：TH325文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A[WT]文章編號(hào)：16721098(2008)02005104

Optimized Design of A Gear Pump without Meshforce

Based on MATLAB

ZHOU Yijun,LUAN Zhenhui,TANG Qiong

(School of Mechanical Engineering , Anhui University of Science and Technology ,Huainan Anhui 232001, China) Abstract: High unbalanced radial force and other problems occur in traditional g ear pumps.In the paper a gear pump without meshforce design idea,structure pr inciple and characteristics were presented. A optimized design mathematic algori thm aiming at minimum cubage of the gear pump was established.Its contracture p arameters were optimized with optimization toolbox in MATLAB.The primary parame ters were optimized by calculation on the condition of constraints satisfied. Th e design precision and efficiency were improved.

Key words:gear pump without meshforce; MATLAB; optimizeddesign

1結(jié)構(gòu)原理

無嚙合力齒輪泵是在齒輪傳動(dòng)與齒輪泵工作原理相結(jié)合的基礎(chǔ)上提出的一種新型液壓動(dòng)力元 件， 其設(shè)計(jì)思想是將動(dòng)力傳遞與吸排液分開設(shè)計(jì)， 使傳遞動(dòng)力的嚙合力由同步齒輪承擔(dān)，而吸排液齒輪只承受液壓力。 其結(jié)構(gòu)原理如圖1所示, 主要由傳動(dòng)軸1、 同步齒輪3、隔板 4、 吸排液齒輪(7)、 軸承5、 泵體6及前后泵蓋等組成。 原動(dòng)機(jī)動(dòng)力由傳動(dòng)軸輸入， 經(jīng) 同 步齒輪傳遞給吸排液齒輪， 吸排液齒輪通過花鍵套裝在傳動(dòng)軸上。 按照齒輪泵工作原理，一對(duì)吸排液齒輪可實(shí)現(xiàn)液體的吸入與排出。 因此， 吸排液齒輪只承受因吸排液而產(chǎn)生的 液壓力［1］。[LL]1. 傳動(dòng)軸；2. 前蓋；3. 同步齒輪；4. 隔板；5. 軸承

6. 泵體；(7). 吸排液齒輪；8. 后蓋；9. 從動(dòng)軸

圖1無嚙合力齒輪泵的結(jié)構(gòu)原理對(duì)于普通齒輪泵，由于動(dòng)力傳遞和吸排液共用同一對(duì)齒輪，使得齒輪（軸）上同時(shí)作用嚙合 力和液壓力，尤其是從動(dòng)齒輪（軸），在嚙合力與液壓力的共同作用下，承受著很大的徑向 載荷，致使支撐從動(dòng)齒輪（軸）的軸承過早失效，并且隨著齒輪泵工作壓力的提高，從動(dòng)齒 輪（軸）上的徑向載荷也越大。提高齒輪泵的工作壓力是齒輪泵的一個(gè)發(fā)展方向，而提高工 作壓力所帶來的問題是：① 軸承壽命大大縮短；② 泵泄漏加劇，容積效率下降。產(chǎn)生 這兩個(gè)問題的根本原因在于齒輪上作用了不平衡的徑向力，并且工作壓力越高，徑向力越大 。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)以上兩個(gè)問題所進(jìn)行的研究是：① 對(duì)齒輪泵的徑向間隙進(jìn)行補(bǔ)償；②減小齒輪泵的徑向液壓力，如優(yōu)化齒輪參數(shù)、縮小排液口尺寸等；③ 提高軸承承載能力 ，如采用復(fù)合材料滑動(dòng)軸承代替滾針軸承等。但這些措施都沒有從根本上解決問題。

對(duì)于無嚙合力齒輪泵，采用將動(dòng)力傳遞與吸排液分離的設(shè)計(jì)思想。傳遞動(dòng)力的嚙合力由同步 齒輪承擔(dān)，其設(shè)計(jì)方法與一般的傳動(dòng)齒輪的設(shè)計(jì)方法相同，主要考慮輪齒的強(qiáng)度及齒面硬度 。液壓力由吸排液齒輪承擔(dān)，其設(shè)計(jì)方法以考慮齒輪精度、輪齒表面粗糙度及耐磨性為主， 其材料除了采用普通齒輪泵所選用的高性能合金鋼以外，還可以采用普通鋼材（經(jīng)表面處理 ）、耐磨鑄鐵、陶瓷及高分子材料等。由于吸排液齒輪所受徑向載荷降低，減小了齒頂圓與 泵體之間的間隙，提高了泵的容積效率，為齒輪泵的高壓化創(chuàng)造了有利的條件。

無嚙合力齒輪泵是作者在齒輪傳動(dòng)與齒輪泵工作原理相結(jié)合的基礎(chǔ)上提出的一種新型液壓動(dòng) 力元件，目前，國(guó)內(nèi)外尚無關(guān)于無嚙合力齒輪泵的研究報(bào)告。

2結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

齒輪泵工作性能好壞直接影響到整個(gè)機(jī)械設(shè)備的工作效率，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)顯得非常重要，對(duì)于 無嚙合力齒輪泵同樣如此。為了提高無嚙合力齒輪泵的性能，有必要對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè) 計(jì)。無嚙合力齒輪泵中的一對(duì)吸排液齒輪是其關(guān)鍵零件,其基本參數(shù)是齒輪泵設(shè)計(jì)的開始， 也是其它零件設(shè)計(jì)的依據(jù)。設(shè)計(jì)齒輪泵時(shí)，按常規(guī)算法，經(jīng)常要計(jì)算很多參數(shù)，尤其是齒輪 參數(shù)，工作量大且易出差錯(cuò)。運(yùn)用Matlab優(yōu)化工具箱對(duì)無嚙合力齒輪泵的吸排液齒輪參數(shù)進(jìn) 行優(yōu)化，建立數(shù)學(xué)模型，在約束條件下，求解最優(yōu)值?？梢苑奖愕貙?duì)無嚙合力齒輪泵進(jìn)行優(yōu) 化設(shè)計(jì)。

2.1目標(biāo)函數(shù)

無嚙合力齒輪泵的初始參數(shù)為理論排量玵=50 mL/r、壓力16 MPa、轉(zhuǎn)速1 500 r/min，以無嚙合力齒輪泵體積最小為目標(biāo)。為了計(jì)算的 方便，以圖2所示的截面積近似計(jì)算無嚙合力齒輪泵的體積，則無嚙合力齒輪泵的體積表達(dá) 式為

V=H(π玆2+2Rmz)

式中：玍為無嚙合力齒輪泵的體積；H為泵體的軸向尺寸（僅考慮吸排液齒輪）；m為齒輪 模數(shù)；R為無嚙合力齒輪泵齒輪齒頂圓半徑；z為齒輪齒數(shù)。

圖2無嚙合力齒輪泵截面圖

考慮齒輪根切涉及到齒輪變位，在這里采用“增一齒修正法”，即珃用(z+1)代入計(jì)算， 則

V=H［π玆2+2Rm(z+1)］

齒輪的寬度為獴，無嚙合力齒輪泵是采用浮動(dòng)軸套進(jìn)行軸向間隙補(bǔ)償?shù)模瑸橛?jì)算簡(jiǎn)便，設(shè) 軸套的寬度近似等于B，故H=3B。

因此，選取玬、z、B為設(shè)計(jì)變量，x=［x1,x2,x3］琓=［m,z,B］琓為設(shè)計(jì) 變量，故無嚙合力齒輪泵優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為

f(x)=V=[SX(]3[]4[SX)]x21x3［(π+4)x2+(2π+4)］(x2+2)

2.2函數(shù)的約束條件

(1) 齒數(shù)、模數(shù)的約束條件由普通齒輪泵排量的近似公式玵=2π珃m2B可知，排量q與模數(shù)m的平方成正比，與 齒數(shù)z的一次方成正比。而反映齒輪泵結(jié)構(gòu)大小的尺寸——齒輪分度圓直徑（Df=mz）與m 、z的一次方成正比。所以在設(shè)計(jì)齒輪泵時(shí)，若要增大排量，采用增大模數(shù)的辦法比增加 齒數(shù)更為有利。若要保持排量不變，要使泵的體積很小，則應(yīng)增大模數(shù)并減小齒數(shù)。

減少齒數(shù)可減小泵的外形尺寸，但齒數(shù)也不能太少，否則不僅會(huì)使流量脈動(dòng)嚴(yán)重，甚至?xí)?齒輪嚙合的重疊系數(shù)ε＜1。用于工程機(jī)械及礦山機(jī)械的中高壓和高壓齒輪泵，對(duì)流量 的均勻性要求不是太高，但要求結(jié)構(gòu)尺寸小、作用在齒輪上的徑向力小，從而延長(zhǎng)軸承的壽 命，就采用較少的齒數(shù)（珃=9～15）［2］。齒輪最小齒數(shù)珃﹎in應(yīng)避免 產(chǎn)生嚴(yán)重根切。所以取

z≥8（1）

考慮到增大模數(shù)比減少齒數(shù)更有利，所以取

m≥2（2）

將式（1）、式（2）寫成不等式的約束形式為

g1(x)=8-x2≤0（3）

g2(x)=2-x1≤0（4）

(2) 排量及其誤差條件根據(jù)理論推導(dǎo)，無嚙合力齒輪泵的理論排量為

qB=2π玬2Bz（5）

用設(shè)計(jì)變量表示即為

qB=2π玿21x2x3（6）

所以有

g3(x)=[JB(｜][SX(]50000-2π玿21x2x3[]50000[SX)][JB)｜]-0.05≤0 （7）

(3) 輪齒強(qiáng)度約束由齒輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力應(yīng)不大于許用值得

g4(x)=σH-［σH］≤0(8)

g5(x)=σF-［σF］≤0(9)

接觸應(yīng)力σH和σF彎曲應(yīng)力的計(jì)算公式分別為

σH=2.5ZuZE[KF(][SX(]2KT[]φdd琜SX)][KF)](10)

σF=[SX(]2KTYFYS[]φdm瑉2[SX)](11)

式(10)～式(11)中： ［σH］為σH的許用值，?。郐襀 ］=1 282.5 MPa；［σF］為σF的許用值，?。郐襀］=385.7 MPa；獽 為載荷系數(shù)，取獽=2.225；玓u為齒數(shù)比系數(shù)，玓u=[KF(][SX(]u+1[]u[SX)][KF )]=1.414；ZE為材料系數(shù)，取ZE=189.8；φd為齒寬系數(shù)，取φd=1；YF為齒形 系數(shù)，取YF=3；YS為齒根應(yīng)力集中系數(shù)，取YS=1.5；T為傳動(dòng)扭矩，計(jì)算得T=137N?m。

將上述數(shù)值代入式(8)～式(9)中并化簡(jiǎn)可得

g4(x)=[SX(]1[]x1x2[SX)]-5.99≤0(12)

g5(x)=[SX(]6.71[]x22x1[SX)]-1≤0(13)

(4) 齒寬約束齒寬過大會(huì)增大軸承負(fù)荷和增高齒面軸向接觸精度，所以一般限制齒寬獴＜9m

g6(x)=x3-9x1≤0(14)

(5) 齒頂圓齒厚約束齒輪泵采用正變位齒輪，齒頂趨于變尖，一般要求齒頂圓齒厚玸滿足：s≥0.15 m，即

g7(x)=0.15x1-s≤0(15)

由機(jī)械原理知玸=π玬/2，代入式(15)并化簡(jiǎn)可得

g7(x)=x1-4.71≤0(16)

無嚙合力齒輪泵優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型寫為如下優(yōu)化函數(shù)形式

玬in玣(x)=玬in｛[SX(]3[]4[SX)]x21x3［(π+4)x2+(2π+4)］(x 2+2)｝(17)

g1(x)=8-x2≤0（18）

g2(x)=2-x1≤0（19）

g3(x)=[JB(｜][SX(]50000-2π玿21x2x3[]50000[SX)][JB)｜]-0.05≤0 （20）

g4(x)=[SX(]1[]x1x2[SX)]-5.99≤0(21)

g5(x)=[SX(]6.71[]x22x1[SX)]-1≤0(22)

g6(x)=x3-9x1≤0(23)

g7(x)=x1-4.71≤0(24)

3用MATLAB優(yōu)化求最優(yōu)值

MATLAB優(yōu)化工具箱提供了對(duì)各種優(yōu)化問題的一個(gè)完整的解決方案。其內(nèi)容涵蓋線性規(guī) 劃、二 次規(guī)劃、最小二乘問題，非線性方程求解、多目標(biāo)決策、最小最大問題，以及半無界問題等 的優(yōu)化問題。其簡(jiǎn)潔的函數(shù)表達(dá)式、多種優(yōu)化算法的任意選擇、對(duì)算法參數(shù)的自由設(shè)置，可 使用戶方便靈活地使用優(yōu)化函數(shù)。本例中有3個(gè)設(shè)計(jì)變量，在設(shè)計(jì)中利用優(yōu)化工具箱中的fim incon()函數(shù)求解多維約束的最小值問題。通過調(diào)用MATLAB最優(yōu)化工具箱中的fmincon()函數(shù) ，可用來解決同時(shí)存在等式約束及不等式約束時(shí)的最優(yōu)化問題，即使實(shí)際優(yōu)化問題無可行解 ，也會(huì)給出一個(gè)對(duì)約束的破壞影響最小的解［3］。

將不同的設(shè)計(jì)初始點(diǎn)代入優(yōu)化設(shè)計(jì)程序，可得到優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1無嚙合力齒輪泵優(yōu)化結(jié)果

設(shè)計(jì)變量玿1[]x2[]x3代表參數(shù)玬珃玔]獴玔BHDWG2]最佳參數(shù)值[]5[]11[]29[BG)F]

目前，國(guó)內(nèi)外尚無關(guān)于無嚙合力齒輪泵的相關(guān)研究，因此表1的優(yōu)化結(jié)果亦不具有可比性 。按“無嚙合力泵的體積最小”作為優(yōu)化目標(biāo)來進(jìn)行優(yōu)化,可以達(dá)到使無嚙合力齒輪泵的結(jié) 構(gòu)緊湊、性價(jià)比高等目的。

4結(jié)論

本文應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱進(jìn)行無嚙合力齒輪泵結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，減小齒輪及齒輪 泵尺寸 、提高齒輪傳動(dòng)質(zhì)量，編程工作量小，求解優(yōu)化問題簡(jiǎn)單方便，提高了設(shè)計(jì)效率。同時(shí)，與 傳統(tǒng)的求解結(jié)果相比，也提高了設(shè)計(jì)精度和可靠性。

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(責(zé)任編輯：李麗)