周躍進

（安徽理工大學理學院，安徽 淮南 232001）

摘 要：對多個處理且試驗結果為多檔次的臨床試驗，構建了其 概率罐子模型。研究了模型中每個處理試驗結果發(fā)生的概率。利用極大似然估計方法得到其 估計量，并獲得此估計量具有漸近正態(tài)性。

關鍵詞：罐子模型；自適應設計；極大似然估計；漸近正態(tài)性

Asymptotic Behaviour of Probability Estimation in

Urn-models with Multi-outcome

ZHOU Yue-jin

(School of Sciences, Anhui University of Science and Technology , Huainan Anhui 232001, China)

Abstract:The urn model for clinical trails with multi-treatment

and multi-outcome was constructed. The probability of outcome of every treatmen t was researched in the urn model.The estimators were obtained by MLE method, an d the estimators have asymptotic normality.

Key words: urn model；self-adaptive designs；MLE；asymptot ic normality

隨著科學技術的發(fā)展，新的藥品和治療方法不斷涌現(xiàn)，這樣臨床試驗設計 越來越受到重視。從人道主義上講，在臨床試驗設計中應盡可能地把較好的、處理較多的分 配給病人。傳統(tǒng)的臨床試驗設計是隨機化的50-50設計，這種設計優(yōu)點是操作簡便，但若治 療方法治愈率相差較大時，有的處理對病人有較重的負面影響，有近半數(shù)病人受到損 害。這 樣就提出了如何根據(jù)前面的試驗結果，合理有效地修正后面試驗方案的自適應設計方法。文 獻［1］提出了自適應設計思想。文獻［2］提出了“勝者優(yōu)先”（Play-the-Winner Rule ）設計。文獻［3］1 801提出了廣義Friedman概率罐子模型（Generalized Friedman s Urn）。利用廣義Friedman概率罐子模型而構建的序貫試驗設計是一種重要的自適應設 計。文獻［3］1 805～1 807還研究了成功概率為齊態(tài)的概率罐子模型漸近性質。文獻 ［4］研究了成功概率為非齊態(tài)的概率罐子模型強相合性和漸近性質。文獻［5］研 究了帶時 序趨勢的概率罐子模型極限性質。文獻［6］研究了多處理的罐子模型極限定理。以 上研究 的罐子模型考慮的試驗結果只有兩檔次，成功和失敗。但是在臨床試驗中試驗結果為多個檔 次的情形也是常見的。文獻［7］利用非參數(shù)秩統(tǒng)計方法提出了一種設計，但沒有建立這種 設計的漸近性質。文獻［8］研究了在臨床試驗中試驗結果為多檔次的罐子模型，對 此提出了一種設計，并建立了漸近定理。

本文考慮多個處理且試驗結果為多檔次的罐子模型， 并建立其漸近性質， 推廣了文獻［8 ］中的結果。 文中第一部分對多個處理且試驗結果為多檔次的臨床試驗設計一種罐子模型 ； 第二部分得到主要結果， 即建立這種模型的漸近正態(tài)性質并給出證明。

1 罐子模型

考慮玨個處理臨床試驗問題，假定臨床試驗結果可劃分為2t個檔次:T璽，Tt-1，… ，T1；S1,S2,…,S璽。其中T璽，Tt-1,…，T1表示負面結果，負面程度由 輕到重；S1,S2,…,S璽表示正面結果，正面程度由輕到重。對病人有人文關懷的設計 應是這樣，當處理A璱(i=1,…,k)的試驗結果為T璲(j=1,…,t)時，下一步則應減少處理A 璱(i=1,…,k)的試驗機會，同時增加其它處理的機會；當處理A璱(i=1,…,k)的試驗結果 是S璲(j=1,2,…,t)時，下一步則應增加處理A璱(i=1,…,k)的試驗機會，同時減少其它 處理的機會，而且隨著負面（正面）結果程度的增加，相應減少（增加）機會的力度也增大 。

設X(l)(l=1,…,k)表示試驗處理A璴的結果。記plj=｛X(l)=S璲 ｝，qij=｛X(l)=T璲｝，l=1,…,k,j=1,…,t，則p璴=∑[DD(]t[]j=1[DD)]p lj表示試驗處理A璴成功的概率。取定2t個正數(shù)0＜β璽＜βt-1＜…＜β1 ＜[SX(]1[]2[SX)]＜α1＜α2＜…＜α璽，并約定α璱+β璱=1，i=1,…,t。假定在 試驗開始時已在一個罐子中放入k種球，每種球代表一種處理方法，第i種球表示第i種處理 方法。在開始時罐子中k種球的個數(shù)分別為Y01,Y02,…,Y0k。從大樣本 觀點看，各種球的分配個數(shù)Y0i對試驗的漸近結果沒有影響。為簡單而不失本質，可 假定Y01=Y02=…=Y0k=[SX(]1[]k[SX)]。試驗開始時，隨機地從罐中有 放回抽取一球，若抽取第i種球，則對病人進行A璱處理。若試驗結果是S璲，則在罐中添 加α璲個第i種球，同時以[SX(]psj[]∑[DD(]k[]s≠i[DD)]psj[SX)]概率添 加β璲個其它第s種球（s≠i,s=1,…,k），即增加處理A璱的試驗機會，減少其它處理機 會；若試驗結果是T璲，則在罐中添加β璲個第i種球，同時以[SX(]psj[]∑[DD(]k []s≠i[DD)]psj[SX)]概率添加α璲個其它第s種球（s≠i,s=1,…,k），即減少處理 A璱的試驗機會，增加其它處理機會。

這樣試驗可重復遞推進行下去，到第n次時，記罐中成份為Y璶=(Yn1，Yn2 ，…，Ynk)，其中Yni(i=1,…,k)表示第iе智虻母鍪。上述罐子模型可表示 成如下遞推形式

Y璱=Yi-1(I+[SX(]1[]i[SX)]H)+Q璱

i=1,2,…（1）

式中：Y璱=(Yi1,Yi2,…,Yik)′；Yi-1=(Yi-1,1,Y i-1,2,…,Yi-1,k)′;I為k階單位陣；Q璱=(Y璱-Yi-1)-E(Y璱-Y ﹊-1｜Fi-1),i=1,2，…，為一個k維鞅差序列；F璱=σ(Y0,Y1,…,Y璱)是 由Y0,Y1,…,Y璱所產(chǎn)生的σ-域；F0為平凡σ-域；H為模型的生 成矩陣，H=[JB(［]∑[DD(]t[]i=1[DD)](p1iα璱+q1iβ i)

∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p2i[]∑[DD(]k[]s≠1[DD)]psi[SX)](p1i β璱+q1iα璱)］…∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]pki[]∑[DD(]k[]s≠1[DD)]psi[SX)](p1i β璱+q1iα璱)］

∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p1i[]∑[DD(X]s≠2[DD)]psi[SX)](p2iβ 璱+q2iα璱)］∑[DD(]t[]i=1[DD)](p2iα璱+q2iβ璱)

…∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]pki[]∑[DD(X]s≠2[DD)]psi[SX)](p2iβ 璱+q2iα璱)］

…………

∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p1i[]∑[DD(X]s≠k[DD)]psi[SX)](pkiβ 璱+qkiα璱)］∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p2i[]∑[DD(X]s≠k[DD)]psi[SX)](pkiβ 璱+qkiα璱)］…∑[DD(]t[]i=1[DD)](pkiα璱+qkiβ璱)

[JB)］]

2 主要結果

在此罐子模型中，每個處理發(fā)生的試驗結果是未知的，為此需對plj,qlj 進行估計。記:

a璵=[SX(][SX(]pmi∑[DD(X]s≠m[DD)]psi[]qmiα璱+pmiβ 璱[SX)][]∑[DD(]k[]j=1[DD)][SX(]pji∑[DD(X]s≠j[DD)]psi[]qji α璱+pjiβ璱[SX)][SX)],a=(a1,…,a璳)′，則向量a是矩陣H的左特征向量。

如果第i次抽得第j種球，ξji=1；如果第i次抽得其它球，ξji=0。

η璱(S璲)=1，第i次試驗結果為S璲；

η璱(S璲)=0，第i次試驗結果為其它情況。

η璱(T璲)=1，第i次試驗結果為T璲；

η璱(T璲)=0，第i次試驗結果為其它情況。

以上j=1,…,t;i=1,2,…。

Mnj=∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξji，M璶=(Mn1,Mn2,…,Mnk )′，則Mnj表示到n次時，第jе執(zhí)理實驗次數(shù)。

令

p[DD(-1*3]＾[KG-*2]lj=[SX(]∑[DD(]n[]i =1[DD)]ξliη璱(S璲)[]Mnl[SX)] q[DD(-1*3]＾ [KG-*2]lj=[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξliη璱(T璲)[]Mnl[ SX)](2)

其中l(wèi)=1,…,k；j=1,…,t，由極大似然估計可知，p[DD(-1*3]＾ lj,q[DD(-1*3]＾lj分別是plj，qljУ募大似然估計。

記：

P=(p11，…,p1t,…,pk1,…,pkt)′

P[DD(-1*3]＾n=(p[DD(-1*3] ＾11，…,p[DD(-1*3]＾ 1t,…,p[DD(-1*3]＾k1 ,…,p[DD(-1*3]＾kt)′

p[DD(-1*3]＾t=∑[DD(]t[]j=1[DD)]p[ DD(-1*3]＾lj,l=1,…,k(3)

由此獲得的估計量P[DD(-1*3]＾nв 漸近正態(tài)分布。

定 理 當n→∞時，有[KF(]n[KF)](P[DD(-1*3]＾n-P)→N(0,苮)。其中

玪=1,2,…,k

(4)

[FL(K2]

為了證明定理，需引入一個引理 。

引 理［8］：當n→∞時，有M璶[]n[SX)]→a,a.s.。И 證 明：由引理，有

n[KF)](P[DD(-1*3]＾n-P)=

([SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(S1)-p11)[]Mn1[SX)],…,[SX (]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(S璽)-p1t)[]Mn1[SX)]，

[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(T1)-q11)[]Mn1[SX)]，…,[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(T璽)-q1t)[]Mn1[SX)]，…,

[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(S1)-pk1)[]Mnk[SX)]，…,[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(S璽)-pkt)[]Mnk[SX)]，

[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(T1)-qk1)[]Mnk[SX)]，…,[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(T璽)-qkt)[]Mnk[SX)])′

(∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（1）n1i，…，∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（1 ）nki，∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2）n1i，…,∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2）nki，…，

∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2k）n1i，…，∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2k ）nki)′(1+o璸(1))[JY](5)

由鞅的中心極限定理［9］可得

n[KF)](P[DD(-1*3]＾n-P)→N( 0,苮)。

推 論 當n→∞時，有

n[KF)][JB((]p[DD(-1*3]＾1-p 1

ⅰ

p[DD(-1*3]＾k-p璳[JB))]→N[JB((][HL(3][SX(]p1(1-p1)[]a1[SX)][]…[]0

………

0…[SX(]p璳(1-p璳)[]a璳[SX)][HL)][JB))](6)

參考文獻：

［1］ ROBINS H.Some aspects of the sequential design of experiments ［J］.Bull.Amer.Math. Soc.,1952,58:527-535.

［2］ M ZELEN.Play the winner rule and controlled clinical trial［J ］.Joural of the American Statistical Association,1969,75:131-146.

［3］ ALTHREGA KB,KARLIN S.Embedding of urn scheme into continuou s time

branching processes and related limit theorems［J］.Ann. Math. Statist.， 1968 , 39: 1 801-1 817.

［4］ BAI ZD,HU FF.Asymtotic theorems for urn models with monhomogeneo us

generating matrices［J］.Stochastic Processes and Their Applications，1999,80( 1):87-01.

［5］ BAI ZD,CHEN GJ,HU FF.Some theorems under urn models with time t rebds［J］.Chinese Annal of Mathematics,2001，22(A):89-96.

［6］ CHEN GJ,ZHU CH,WANG YH.Limit theorems and optimal design with a dap tive urn models［J］.Journal of Systerms Science and Complexity,2005,18:347-36 0.

［7］ ROSENBERGER WF.Asymptopic inference with response adapti v e treatment allocation designs［J］.Ann.Statist.，1993,21:2 098-2 107.

［8］ 陳桂景,胡舒合,洪圣巖.多檔次試驗結果下的一種罐子模型［J］.應用概率 統(tǒng)計,2006,22(3):281-287.

［9］ HALL P,HEGDE CC.Martingale limit theory and its application［M ］.Academic Press,London,1980：127-128.

(責任編輯：何學華)

周躍進

（安徽理工大學理學院，安徽 淮南 232001）

摘 要：對多個處理且試驗結果為多檔次的臨床試驗，構建了其 概率罐子模型。研究了模型中每個處理試驗結果發(fā)生的概率。利用極大似然估計方法得到其 估計量，并獲得此估計量具有漸近正態(tài)性。

關鍵詞：罐子模型；自適應設計；極大似然估計；漸近正態(tài)性

Asymptotic Behaviour of Probability Estimation in

Urn-models with Multi-outcome

ZHOU Yue-jin

(School of Sciences, Anhui University of Science and Technology , Huainan Anhui 232001, China)

Abstract:The urn model for clinical trails with multi-treatment

and multi-outcome was constructed. The probability of outcome of every treatmen t was researched in the urn model.The estimators were obtained by MLE method, an d the estimators have asymptotic normality.

Key words: urn model；self-adaptive designs；MLE；asymptot ic normality

隨著科學技術的發(fā)展，新的藥品和治療方法不斷涌現(xiàn)，這樣臨床試驗設計 越來越受到重視。從人道主義上講，在臨床試驗設計中應盡可能地把較好的、處理較多的分 配給病人。傳統(tǒng)的臨床試驗設計是隨機化的50-50設計，這種設計優(yōu)點是操作簡便，但若治 療方法治愈率相差較大時，有的處理對病人有較重的負面影響，有近半數(shù)病人受到損 害。這 樣就提出了如何根據(jù)前面的試驗結果，合理有效地修正后面試驗方案的自適應設計方法。文 獻［1］提出了自適應設計思想。文獻［2］提出了“勝者優(yōu)先”（Play-the-Winner Rule ）設計。文獻［3］1 801提出了廣義Friedman概率罐子模型（Generalized Friedman s Urn）。利用廣義Friedman概率罐子模型而構建的序貫試驗設計是一種重要的自適應設 計。文獻［3］1 805～1 807還研究了成功概率為齊態(tài)的概率罐子模型漸近性質。文獻 ［4］研究了成功概率為非齊態(tài)的概率罐子模型強相合性和漸近性質。文獻［5］研 究了帶時 序趨勢的概率罐子模型極限性質。文獻［6］研究了多處理的罐子模型極限定理。以 上研究 的罐子模型考慮的試驗結果只有兩檔次，成功和失敗。但是在臨床試驗中試驗結果為多個檔 次的情形也是常見的。文獻［7］利用非參數(shù)秩統(tǒng)計方法提出了一種設計，但沒有建立這種 設計的漸近性質。文獻［8］研究了在臨床試驗中試驗結果為多檔次的罐子模型，對 此提出了一種設計，并建立了漸近定理。

本文考慮多個處理且試驗結果為多檔次的罐子模型， 并建立其漸近性質， 推廣了文獻［8 ］中的結果。 文中第一部分對多個處理且試驗結果為多檔次的臨床試驗設計一種罐子模型 ； 第二部分得到主要結果， 即建立這種模型的漸近正態(tài)性質并給出證明。

1 罐子模型

考慮玨個處理臨床試驗問題，假定臨床試驗結果可劃分為2t個檔次:T璽，Tt-1，… ，T1；S1,S2,…,S璽。其中T璽，Tt-1,…，T1表示負面結果，負面程度由 輕到重；S1,S2,…,S璽表示正面結果，正面程度由輕到重。對病人有人文關懷的設計 應是這樣，當處理A璱(i=1,…,k)的試驗結果為T璲(j=1,…,t)時，下一步則應減少處理A 璱(i=1,…,k)的試驗機會，同時增加其它處理的機會；當處理A璱(i=1,…,k)的試驗結果 是S璲(j=1,2,…,t)時，下一步則應增加處理A璱(i=1,…,k)的試驗機會，同時減少其它 處理的機會，而且隨著負面（正面）結果程度的增加，相應減少（增加）機會的力度也增大 。

設X(l)(l=1,…,k)表示試驗處理A璴的結果。記plj=｛X(l)=S璲 ｝，qij=｛X(l)=T璲｝，l=1,…,k,j=1,…,t，則p璴=∑[DD(]t[]j=1[DD)]p lj表示試驗處理A璴成功的概率。取定2t個正數(shù)0＜β璽＜βt-1＜…＜β1 ＜[SX(]1[]2[SX)]＜α1＜α2＜…＜α璽，并約定α璱+β璱=1，i=1,…,t。假定在 試驗開始時已在一個罐子中放入k種球，每種球代表一種處理方法，第i種球表示第i種處理 方法。在開始時罐子中k種球的個數(shù)分別為Y01,Y02,…,Y0k。從大樣本 觀點看，各種球的分配個數(shù)Y0i對試驗的漸近結果沒有影響。為簡單而不失本質，可 假定Y01=Y02=…=Y0k=[SX(]1[]k[SX)]。試驗開始時，隨機地從罐中有 放回抽取一球，若抽取第i種球，則對病人進行A璱處理。若試驗結果是S璲，則在罐中添 加α璲個第i種球，同時以[SX(]psj[]∑[DD(]k[]s≠i[DD)]psj[SX)]概率添 加β璲個其它第s種球（s≠i,s=1,…,k），即增加處理A璱的試驗機會，減少其它處理機 會；若試驗結果是T璲，則在罐中添加β璲個第i種球，同時以[SX(]psj[]∑[DD(]k []s≠i[DD)]psj[SX)]概率添加α璲個其它第s種球（s≠i,s=1,…,k），即減少處理 A璱的試驗機會，增加其它處理機會。

這樣試驗可重復遞推進行下去，到第n次時，記罐中成份為Y璶=(Yn1，Yn2 ，…，Ynk)，其中Yni(i=1,…,k)表示第iе智虻母鍪。上述罐子模型可表示 成如下遞推形式

Y璱=Yi-1(I+[SX(]1[]i[SX)]H)+Q璱

i=1,2,…（1）

式中：Y璱=(Yi1,Yi2,…,Yik)′；Yi-1=(Yi-1,1,Y i-1,2,…,Yi-1,k)′;I為k階單位陣；Q璱=(Y璱-Yi-1)-E(Y璱-Y ﹊-1｜Fi-1),i=1,2，…，為一個k維鞅差序列；F璱=σ(Y0,Y1,…,Y璱)是 由Y0,Y1,…,Y璱所產(chǎn)生的σ-域；F0為平凡σ-域；H為模型的生 成矩陣，H=[JB(［]∑[DD(]t[]i=1[DD)](p1iα璱+q1iβ i)

∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p2i[]∑[DD(]k[]s≠1[DD)]psi[SX)](p1i β璱+q1iα璱)］…∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]pki[]∑[DD(]k[]s≠1[DD)]psi[SX)](p1i β璱+q1iα璱)］

∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p1i[]∑[DD(X]s≠2[DD)]psi[SX)](p2iβ 璱+q2iα璱)］∑[DD(]t[]i=1[DD)](p2iα璱+q2iβ璱)

…∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]pki[]∑[DD(X]s≠2[DD)]psi[SX)](p2iβ 璱+q2iα璱)］

…………

∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p1i[]∑[DD(X]s≠k[DD)]psi[SX)](pkiβ 璱+qkiα璱)］∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p2i[]∑[DD(X]s≠k[DD)]psi[SX)](pkiβ 璱+qkiα璱)］…∑[DD(]t[]i=1[DD)](pkiα璱+qkiβ璱)

[JB)］]

2 主要結果

在此罐子模型中，每個處理發(fā)生的試驗結果是未知的，為此需對plj,qlj 進行估計。記:

a璵=[SX(][SX(]pmi∑[DD(X]s≠m[DD)]psi[]qmiα璱+pmiβ 璱[SX)][]∑[DD(]k[]j=1[DD)][SX(]pji∑[DD(X]s≠j[DD)]psi[]qji α璱+pjiβ璱[SX)][SX)],a=(a1,…,a璳)′，則向量a是矩陣H的左特征向量。

如果第i次抽得第j種球，ξji=1；如果第i次抽得其它球，ξji=0。

η璱(S璲)=1，第i次試驗結果為S璲；

η璱(S璲)=0，第i次試驗結果為其它情況。

η璱(T璲)=1，第i次試驗結果為T璲；

η璱(T璲)=0，第i次試驗結果為其它情況。

以上j=1,…,t;i=1,2,…。

Mnj=∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξji，M璶=(Mn1,Mn2,…,Mnk )′，則Mnj表示到n次時，第jе執(zhí)理實驗次數(shù)。

令

p[DD(-1*3]＾[KG-*2]lj=[SX(]∑[DD(]n[]i =1[DD)]ξliη璱(S璲)[]Mnl[SX)] q[DD(-1*3]＾ [KG-*2]lj=[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξliη璱(T璲)[]Mnl[ SX)](2)

其中l(wèi)=1,…,k；j=1,…,t，由極大似然估計可知，p[DD(-1*3]＾ lj,q[DD(-1*3]＾lj分別是plj，qljУ募大似然估計。

記：

P=(p11，…,p1t,…,pk1,…,pkt)′

P[DD(-1*3]＾n=(p[DD(-1*3] ＾11，…,p[DD(-1*3]＾ 1t,…,p[DD(-1*3]＾k1 ,…,p[DD(-1*3]＾kt)′

p[DD(-1*3]＾t=∑[DD(]t[]j=1[DD)]p[ DD(-1*3]＾lj,l=1,…,k(3)

由此獲得的估計量P[DD(-1*3]＾nв 漸近正態(tài)分布。

定 理 當n→∞時，有[KF(]n[KF)](P[DD(-1*3]＾n-P)→N(0,苮)。其中

玪=1,2,…,k

(4)

[FL(K2]

為了證明定理，需引入一個引理 。

引 理［8］：當n→∞時，有M璶[]n[SX)]→a,a.s.。И 證 明：由引理，有

n[KF)](P[DD(-1*3]＾n-P)=

([SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(S1)-p11)[]Mn1[SX)],…,[SX (]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(S璽)-p1t)[]Mn1[SX)]，

[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(T1)-q11)[]Mn1[SX)]，…,[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(T璽)-q1t)[]Mn1[SX)]，…,

[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(S1)-pk1)[]Mnk[SX)]，…,[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(S璽)-pkt)[]Mnk[SX)]，

[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(T1)-qk1)[]Mnk[SX)]，…,[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(T璽)-qkt)[]Mnk[SX)])′

(∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（1）n1i，…，∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（1 ）nki，∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2）n1i，…,∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2）nki，…，

∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2k）n1i，…，∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2k ）nki)′(1+o璸(1))[JY](5)

由鞅的中心極限定理［9］可得

n[KF)](P[DD(-1*3]＾n-P)→N( 0,苮)。

推 論 當n→∞時，有

n[KF)][JB((]p[DD(-1*3]＾1-p 1

ⅰ

p[DD(-1*3]＾k-p璳[JB))]→N[JB((][HL(3][SX(]p1(1-p1)[]a1[SX)][]…[]0

………

0…[SX(]p璳(1-p璳)[]a璳[SX)][HL)][JB))](6)

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(責任編輯：何學華)