1 引 言

增壓鍋爐作為艦船動(dòng)力系統(tǒng)的重要組成部分，其運(yùn)行安全性好壞將直接影響戰(zhàn)斗能力，對(duì)其進(jìn)行安全性分析有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。

故障樹分析法(簡稱FTA)是1961年由美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的Watson提出的，20世紀(jì)60年代初，在航空和宇航工業(yè)得到了應(yīng)用。從60年代到70年代，應(yīng)用FTA法定量分析有了迅速發(fā)展[1-4]。目前，F(xiàn)TA作為安全性定量分析的一種重要工具，日益受到重視。

FTA方法在進(jìn)行定量分析時(shí)，要用到底事件的故障概率，而實(shí)際情況是這類故障事件很少且不易得到，給分析帶來了困難。本文試圖將基于Bayes方法的Monte-Carlo數(shù)字仿真運(yùn)用于FTA定量分析中，對(duì)底事件概率進(jìn)行仿真，對(duì)增壓鍋爐爐膛進(jìn)行安全性分析；計(jì)算了各部件的重要度，并提出了相應(yīng)的建議。實(shí)例分析表明這種方法是切實(shí)可行的。

2 仿真方法

2.1 定數(shù)截尾試驗(yàn)

取n個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)，事先指定一個(gè)故障數(shù)r(0≤r≤n)，當(dāng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到有r個(gè)產(chǎn)品故障時(shí)結(jié)束試驗(yàn)。根據(jù)試驗(yàn)過程是否替換已故障產(chǎn)品，分為無替換和有替換兩種試驗(yàn)。

對(duì)于指數(shù)單元的定數(shù)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，要用到如下定理：

(1)

2.2 Bayes方法

在故障樹定量分析時(shí)，一般作如下假設(shè)：

1) 故障樹中的底事件之間是相互獨(dú)立的；

2) 每一個(gè)底事件及頂事件只考慮其發(fā)生或不發(fā)生兩種狀態(tài)；

3) 底事件的故障分布都為指數(shù)分布。

(2)

故障率λ的共軛先驗(yàn)分布密度取f0(λ)=Γ(λ|z0,τ0)，根據(jù)Bayes定理，λ的后驗(yàn)分布密度為：

(3)

式中，參數(shù)z和τ為單元失效數(shù)和總試驗(yàn)時(shí)間；參數(shù)z0和τ0為驗(yàn)前信息；Γ(g)是參數(shù)為z0+z和τ0+τ的伽馬分布函數(shù)。所以，故障率λ的抽樣公式為：

(4)

式中，ri為(0,1)區(qū)間隨機(jī)數(shù)；λBi為故障率的抽樣值。

2.3 基于Bayes方法的Monte-Carlo數(shù)字仿真

基于Bayes方法的Monte-Carlo數(shù)字仿真，進(jìn)行故障率評(píng)定的具體步驟為[5-7]：

1) 從仿真循環(huán)次數(shù)i=1開始，抽取(0,1)區(qū)間隨機(jī)數(shù)ri；

2) 代入式(4)，求Γ分布函數(shù)對(duì)應(yīng)于隨機(jī)數(shù)ri的分位數(shù)λBi,得到故障率的一個(gè)抽樣值；

3)i=i+1重復(fù)上述過程，1≤i≤N,N為仿真次數(shù)；

4) 對(duì)抽樣值由小到大排序得λB1≤λB2≤λB3≤…≤λBN，得到故障率的分布密度函數(shù)；

5) 給定置信度γ，在故障率的分布密度函數(shù)中，求γN的整數(shù)部分對(duì)應(yīng)的λBi，就是給定置信度為γ的故障率上限值λu,B。

本文將上述Monte-Carlo仿真過程產(chǎn)生的λu,B作為故障樹底事件故障率λ，給定工作時(shí)間t，則底事件Xi發(fā)生概率：

Qi=1-e-λui,Bt

(5)

Qi用于后續(xù)的定量FTA分析。

為保證故障率上限收斂，本文仿真次數(shù)N取10 000。由于計(jì)算量比較大，借用MATLAB的概率統(tǒng)計(jì)工具函數(shù)GAMMAINC[8]，編程計(jì)算λ。

3 爐膛安全性分析算例

3.1 故障樹的構(gòu)建

爐膛是蒸汽鍋爐最重要的部件之一，既是一個(gè)燃燒室，又是一個(gè)換熱設(shè)備。爐膛是鍋爐溫度最高的區(qū)域。在爐膛內(nèi)，燃燒與傳熱過程同時(shí)進(jìn)行，參與燃燒與傳熱的各種因素互相影響，使?fàn)t膛內(nèi)發(fā)生的過程十分復(fù)雜[9]?，F(xiàn)選取爐膛爆炸事件作為頂事件，建立如圖1所示故障樹。

圖1 爐膛爆炸故障樹

需要說明的是，X1本質(zhì)上是觸發(fā)事件，為了故障樹的規(guī)范化，將其作為底事件，實(shí)際分析時(shí)不將其作為故障對(duì)待；X5是未展開事件，也不作故障分析。

對(duì)故障樹進(jìn)行定性分析得9個(gè)最小割集：

C1={X1，X2，X7}，C2={X1，X2，X8}，C3={X1，X3，X7}，C4={X1，X3，X8}，C5={X1，X4，X7}，C6={X1，X4，X8}，C7={X1，X2，X5，X6}，C8={X1，X3，X5，X6}，C9={X1，X4，X5，X6}。

上述最小割集都在三階以上，故系統(tǒng)中不存在單點(diǎn)故障。這是因?yàn)橄到y(tǒng)采用了冗余設(shè)計(jì)，反映在故障樹上，與門比較靠近頂事件。

3.2 定量分析

3.2.1底事件概率仿真

X1本身不引起故障，其Q1值取1；X5是未展開事件，無須分析，也取Q5為1；另外根據(jù)經(jīng)驗(yàn)[10]取Q2=Q3=10-4，Q6=1.1×10-5，Q8=10-3。對(duì)事件X4和X7的失效概率Q4和Q7進(jìn)行仿真。

對(duì)X4：指數(shù)分布單元進(jìn)行定數(shù)截尾試驗(yàn)，失敗數(shù)為z=1，總試驗(yàn)時(shí)間為τ=100 h，工作時(shí)間為t0=10 h。驗(yàn)前信息為z0=1，τ0=500 h。

對(duì)X7：指數(shù)分布單元進(jìn)行定數(shù)截尾試驗(yàn)，失敗數(shù)為z=1，總試驗(yàn)時(shí)間為τ=100 h，工作時(shí)間為t0=10 h。驗(yàn)前信息為z0=2，τ0=500 h。

置信度γ取0.9，仿真次數(shù)N=10 000。用MATLAB編程計(jì)算，得λU4,B=7.8×10-3(1/h)，λU7,B=1.05×10-2(1/h)。再取t=10 h，由式(5)計(jì)算，得失效概率Q4=0.075 0，Q7=0.099 7。

3.2.2后續(xù)FTA定量分析

1) 頂事件發(fā)生概率

最小割集C1的發(fā)生概率為：

同理可計(jì)算其余最小割集的發(fā)生概率，結(jié)果見表1。

表1 p(Ci)計(jì)算值

該值表示故障樹頂事件發(fā)生概率為0.007 6，因此，爐膛能連續(xù)工作10 h而不發(fā)生爆炸事故的概率為1-0.007 6=0.992 4。

2) 重要度分析

概率重要度的定義可以解釋為：i部件狀態(tài)取1時(shí)頂事件概率和i部件狀態(tài)取0時(shí)頂事件概率值的差。因?yàn)閄2存在于C1，C2，C7中，所以：

同理求得其余底事件概率重要度，列于表2(X1，X5無須分析)。

表2 底事件概率重要度

從計(jì)算結(jié)果可以看出，除X1、X5之外的6個(gè)底事件概率重要度由大到小的順序?yàn)椋篨4X7X8X2X3X6。此順序表明，X4和X7概率重要度最大，則系統(tǒng)處于配風(fēng)器和霧化片為關(guān)鍵部件狀態(tài)的概率最大。

關(guān)鍵重要度的表達(dá)式為：

由前面分析可知，該系統(tǒng)有g(shù)=0.007 6，則

同理計(jì)算其他底事件關(guān)鍵重要度的值，結(jié)果見表3。

由計(jì)算結(jié)果可以看出，因底事件X7和X4發(fā)生而導(dǎo)致頂事件發(fā)生的概率最大，在需要快速排除故障的場(chǎng)合，應(yīng)首先檢查霧化片和配風(fēng)器兩個(gè)部件。

4 結(jié) 語

綜上所述，本文提出將基于Bayes方法的Monte-Carlo數(shù)字仿真方法用于事件概率的仿真計(jì)算，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了爐膛安全性的FTA分析。通過數(shù)字仿真，克服了以往事故數(shù)據(jù)不足給分析造成的困難，解決了部件失效數(shù)據(jù)的來源問題，為后續(xù)的FTA定量分析創(chuàng)造了條件。

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