1 引 言

在艦船概念設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者經(jīng)常要完成的工作是生成多個(gè)船型方案，并從中篩選出1個(gè)或者多個(gè)綜合性能較好的方案。這實(shí)際上是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化和決策的問(wèn)題。

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可以描述為：一個(gè)由滿(mǎn)足一定約束條件的決策向量組成的向量，使得一個(gè)由多個(gè)目標(biāo)函數(shù)組成的向量函數(shù)最優(yōu)化。目標(biāo)之間通常是相互沖突的。優(yōu)化意味著要找到一個(gè)使所有目標(biāo)函數(shù)都可接受的解。由于艦船本身技術(shù)性能的復(fù)雜性，采用傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法獲得多目標(biāo)優(yōu)化的最佳船型概念是相當(dāng)困難的。對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，隨著優(yōu)化技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，從20世紀(jì)80年代開(kāi)始，進(jìn)化算法開(kāi)始應(yīng)用于解決多目標(biāo)問(wèn)題。目前涌現(xiàn)出很多種多目標(biāo)進(jìn)化算法，已經(jīng)形成了一個(gè)熱門(mén)的研究領(lǐng)域[1]。

對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，當(dāng)Pareto最優(yōu)解集求出來(lái)之后，還需要根據(jù)決策者的偏好，挑選出最后的折中解或最優(yōu)解。這是一個(gè)綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題，即對(duì)多屬性體系結(jié)構(gòu)描述的對(duì)象系統(tǒng)做出全局性、整體性的評(píng)價(jià)[2]。多屬性決策方法作為運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，具有對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象描述精確的優(yōu)點(diǎn)，能夠處理多決策者和多指標(biāo)的對(duì)象。它通過(guò)化多為少和分層處理，直接給出排序。它是一種應(yīng)用廣泛的決策方法[3]。

本文將多目標(biāo)進(jìn)化優(yōu)化技術(shù)與多屬性決策方法結(jié)合起來(lái)，討論了艦船設(shè)計(jì)中的優(yōu)化和決策問(wèn)題。對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，采用改進(jìn)的非支配解排序的多目標(biāo)進(jìn)化優(yōu)化算法(NSGA II)[4]求出Pareto最優(yōu)解，由這些Pareto最優(yōu)解構(gòu)成決策矩陣，使用基于信息熵和層次分析法組合賦權(quán)求得權(quán)值，然后用逼近理想解的排序方法(TOPSIS)[3]進(jìn)行多屬性決策(MADM)研究，對(duì)Pareto最優(yōu)解給出了排序。文中討論了1艘水面艦船概念設(shè)計(jì)的實(shí)例。

2 模型和求解

艦船概念設(shè)計(jì)需要考慮作戰(zhàn)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、安全等性能，這是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化和決策的問(wèn)題。在多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto解集求出后，設(shè)計(jì)者還需要在多個(gè)優(yōu)化方案中尋求一種綜合性能最優(yōu)的結(jié)果。以追求兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)最大為例，圖1顯示了這種優(yōu)化和決策的過(guò)程。

圖1 Pareto最優(yōu)解和決策過(guò)程示意圖

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化

一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可以表述為如下形式：

minF(x)=[f1(x),f2(x), …,fn(x) ]

(1)

x=[x1,x2,…,xl]

s.t.hi(x)=0i=1,2,…,I

gj(x)≤0,j=1,2,…,J

式(1)表示了n個(gè)優(yōu)化屬性準(zhǔn)則，l個(gè)決策變量，I個(gè)等式約束和J個(gè)不等式約束的多目標(biāo)最小化優(yōu)化問(wèn)題。

在多目標(biāo)優(yōu)化中，由于目標(biāo)之間相互沖突，很難找到一個(gè)真正意義上的最優(yōu)解，而存在一系列解，其特點(diǎn)為至少存在一個(gè)目標(biāo)優(yōu)于其他所有的解，這樣的解稱(chēng)之為非支配解，或Pareto解，這些解的集合即為Pareto最優(yōu)解集。求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的主要任務(wù)是求得該優(yōu)化問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解集。

在眾多多目標(biāo)優(yōu)化算法中，多目標(biāo)遺傳算法的應(yīng)用研究最為廣泛。遺傳算法通過(guò)對(duì)一個(gè)種群進(jìn)行運(yùn)算操作，在一個(gè)進(jìn)化代中可以得到多個(gè)Pareto最優(yōu)解，因此，它是求解Pareto最優(yōu)解集的一種有效算法。NSGA II算法最早由印度研究人員SRINIVAS和DEB提出[5]，他們將非支配排序思想引入遺傳算法，把多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為虛擬適應(yīng)度的計(jì)算，用于求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。NSGA的基本原理是基于對(duì)個(gè)體的幾層分級(jí)實(shí)現(xiàn)種群的非支配排序，在選擇操作執(zhí)行前，群體根據(jù)支配與非支配關(guān)系排序，所有非支配個(gè)體被排成一類(lèi)，這些個(gè)體共享虛擬適應(yīng)度值，依此逐步對(duì)剩余的個(gè)體進(jìn)行分級(jí)并賦予相應(yīng)的虛擬適應(yīng)度。NSGA II是以NSGA為基礎(chǔ)進(jìn)行改進(jìn)的非支配排序遺傳算法，采用快速非支配排序過(guò)程、精英保留策略和無(wú)參數(shù)小生境操作算子，克服了傳統(tǒng)NSGA的計(jì)算復(fù)雜度高、非精英保存策略和需特別指定共享半徑的缺點(diǎn)。

2.2 多屬性決策

實(shí)際上，多目標(biāo)問(wèn)題的求解還是一個(gè)決策問(wèn)題，而不僅僅是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。當(dāng)Pareto最優(yōu)解集求出來(lái)之后，還需要根據(jù)決策者的偏好，挑選出最后的折中解或最優(yōu)解。決策是基于方案的，決策者更希望通過(guò)對(duì)多個(gè)方案進(jìn)行權(quán)衡后做出選擇。

HWANG和YOON[6]開(kāi)發(fā)的逼近理想方案的序數(shù)偏好方法(TOPSIS)建立在所選擇的方案應(yīng)與理想方案的差距最小，并且和負(fù)理想方案差距最大的理論上?？梢詫㈥P(guān)于m個(gè)方案n個(gè)屬性的多屬性決策問(wèn)題看成在n維空間中m個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的幾何系統(tǒng)中進(jìn)行處理。此時(shí)，所有的方案可以作為該系統(tǒng)的解。TOPSIS通過(guò)和理想解的相近程度，同時(shí)考慮到理想解和負(fù)理想解的距離來(lái)判斷方案的優(yōu)劣。這種方法簡(jiǎn)單，可以產(chǎn)生清楚的解的偏好順序。

TOPSIS方法使用屬性的偏好信息，即需要屬性的權(quán)重集。它的解依賴(lài)決策者的賦權(quán)方法。在多屬性決策中，有很多的賦權(quán)方法，大致可以分成主觀賦權(quán)、客觀賦權(quán)和組合賦權(quán)3種[7]。主觀賦權(quán)方法是決策者給出偏好信息的方法，主要有特征向量法、最小平方和法和層次分析法等；客觀賦權(quán)方法是基于決策矩陣信息的方法，如主成分分析法、信息熵法和多目標(biāo)優(yōu)化方法等；組合賦權(quán)是主觀和客觀賦權(quán)相結(jié)合的一種賦權(quán)方法。本文將層次分析法和信息熵法組合起來(lái)，以期得到更加合理的綜合權(quán)重，然后再用TOPSIS方法得到最后的Pareto最優(yōu)解排序。

3 算例和討論

采用上述過(guò)程，討論了1艘水面艦船概念設(shè)計(jì)的實(shí)例[8]，該艦船的數(shù)學(xué)模型采用美國(guó)麻省理工學(xué)院水面船設(shè)計(jì)綜合模型[9]。優(yōu)化模型簡(jiǎn)述如下。

3.1 已知參數(shù)

持續(xù)速度30 kn，續(xù)航速度20 kn，續(xù)航距離6 400 km，自持力45 d，士兵58人，有效負(fù)載247.65 t。

3.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)變量

該優(yōu)化問(wèn)題共有45個(gè)變量，其中16個(gè)離散變量?；驹O(shè)計(jì)變量8個(gè)，即水線(xiàn)面長(zhǎng)度LWL，船寬B，甲板層數(shù)Ndecks，菱形系數(shù)CP，最大橫剖面系數(shù)CX，船體平均甲板高度HDKh，艙底高度BILGE和艙室甲板高度HDKd。

推進(jìn)系統(tǒng)參數(shù)包括推進(jìn)器數(shù)量、效率、潤(rùn)滑油重量、螺旋槳數(shù)量、槳直徑、推進(jìn)軸長(zhǎng)度。船舶控制系統(tǒng)參數(shù)為導(dǎo)航系統(tǒng)重量、穩(wěn)定翼數(shù)量；作戰(zhàn)系統(tǒng)的參數(shù)為阻力系數(shù)、聲吶面積、重量、重心高度等。

3.3 約束條件和目標(biāo)函數(shù)

1) 變量約束條件：

LWL/B=7.5～10

B/T=2.8～3.7

(2)

性態(tài)約束條件

排水量/LWL=45～65

GM/B=0.09～0.122

(3)

2) 目標(biāo)函數(shù)一共取6個(gè)：

(4)

前5個(gè)目標(biāo)函數(shù)為相對(duì)偏差。其中，kWG為發(fā)電機(jī)功率；kWGREQ為要求功率；PI為安裝的軸馬力，PIREQ為達(dá)到持續(xù)速度所需要的軸馬力；VTR為需要容積；VTA為實(shí)際具有的容積；ATR為需要面積；ATA為實(shí)際面積；DELTAFL為全排水量；WT為總重量。

從艦船設(shè)計(jì)的角度看，前5個(gè)指標(biāo)必須都大于零。因此，它們也是約束條件的一部分。電機(jī)功率、軸馬力的誤差以及建造費(fèi)用越小越好，容積、面積和重量偏差越大越好。表1給出了NSGA II方法的參數(shù)設(shè)定情況，一共得到875個(gè)最優(yōu)解。

表1 NSGA II方法參數(shù)設(shè)定

圖2～圖6給出了6個(gè)目標(biāo)之間的Pareto最優(yōu)解的散點(diǎn)圖，橫坐標(biāo)均取為重量相對(duì)偏差。圖中用實(shí)線(xiàn)給出了Pareto前沿。

針對(duì)這6個(gè)屬性，根據(jù)層次分析法[10]給出判斷矩陣P：

(5)

圖2 重量偏差和功率偏差間的散點(diǎn)圖

圖3 重量偏差和費(fèi)用間的散點(diǎn)圖

圖4 重量偏差和容積偏差間的散點(diǎn)圖

圖5 重量偏差和功率偏差間的散點(diǎn)圖

圖6 重量偏差和面積偏差間的散點(diǎn)圖

求得P矩陣的最大特征值為λmax=6.467 3，一致性指標(biāo)C.I.和一致性比例C.R.分別為：

(6)

當(dāng)C.R.<0.1時(shí)，即要求決策者判斷的一致性與隨機(jī)生成判斷的一致性之比小于10%，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的。求解用λmax構(gòu)成的關(guān)于屬性權(quán)重的線(xiàn)性方程組，得到權(quán)重集(即主觀偏好信息)：

λ={0.325 0,0.156 4,0.173 8,0.135 4,

0.117 4,0.092 0}

(7)

根據(jù)信息熵法，得到的權(quán)重集(客觀賦權(quán))為:

w={0.689 3,0.160 9,0.007 6,0.007 1,

0.135 0,0.000 1}

(8)

利用偏好信息λ對(duì)客觀賦權(quán)w進(jìn)行修正：

(9)

得到比較準(zhǔn)確的權(quán)重：

w0={0.838 0,0.094 13,0.004 941,0.003 596,

0.059 28,3.441 4×10-5}

(10)

可見(jiàn)，建造費(fèi)用的權(quán)重非常小，它對(duì)決策的影響最小。

為了在875個(gè)Pareto最優(yōu)解中挑選最終解，先構(gòu)成875×6的決策矩陣D(即6個(gè)目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成決策矩陣的列)，再運(yùn)用TOPSIS方法計(jì)算綜合排序指數(shù)，以此指數(shù)的從大到小排列，得到最優(yōu)解從優(yōu)到劣的排序。

表2給出了是否計(jì)及偏好時(shí)，排序第1的方案結(jié)果。

表3 考慮偏好與否后排序結(jié)果及比較

這3個(gè)方案分別標(biāo)識(shí)為A，B，C，它們用★號(hào)表示在圖2～圖6中。從圖5中可以得知，基于客觀賦權(quán)和TOPSIS方法得到的結(jié)果(方案A)位于Pareto前沿中部位置?？紤]了決策者的偏好信息后的方案B，前5個(gè)指標(biāo)都是優(yōu)于方案A的，但是費(fèi)用稍高一些。從決策的角度來(lái)看，通過(guò)費(fèi)用的少許增加(1.24%)，能夠換來(lái)其他指標(biāo)的提升，特別是前兩個(gè)指標(biāo)提升更加明顯。這種選擇是可行的。依據(jù)AHP的偏好信息進(jìn)行修正后，決策結(jié)果更加合理一些。

從多目標(biāo)優(yōu)化的角度來(lái)看，文獻(xiàn)[8]給出的方案A和B是一個(gè)劣解(在圖4和圖6中，因C方案的函數(shù)值太小，未表示出來(lái))。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文采用多目標(biāo)進(jìn)化優(yōu)化算法求出Pareto最優(yōu)解，使用組合賦權(quán)及TOPSIS方法對(duì)Pareto最優(yōu)解給出了排序。數(shù)值算例表明，多目標(biāo)進(jìn)化優(yōu)化算法得到的最優(yōu)解分布比較均勻，采用組合賦權(quán)方法能夠?qū)⒖陀^賦權(quán)和決策者的經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)。將多目標(biāo)優(yōu)化方法和多屬性決策方法綜合運(yùn)用，能夠迅速獲得船舶的最優(yōu)概念設(shè)計(jì)方案，結(jié)果合理。這種綜合方法，也可用于其他艦船的設(shè)計(jì)中。

[1] 崔遜學(xué).多目標(biāo)進(jìn)化算法及其應(yīng)用 [M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社, 2006.

[2] 陳衍泰,陳國(guó)宏，李美娟.綜合評(píng)價(jià)方法分類(lèi)及研究進(jìn)展 [J].管理科學(xué)學(xué)報(bào), 2004, (2):69-79.

[3] 徐玖平,吳巍.多屬性決策的理論與方法 [M].北京：清華大學(xué)出版社, 2006.

[4] DEB K, PRATAP A,ARGRAWAL S,MEYARIVAN T. A fast and elitist multi-objective genetic algorithm: NSGA II [J]. IEEE Trans. Evolutionary Computation, 2002, 6(2):182-197.

[5] SRINIVAS N,DEB K. Multiobjective optimization using non-dominated sorting in genetic algorithms[J]. Evolutionary Computation, 1995, 2:221-248.

[6] HWANG C L ,YOON K. Multiple attribute decision making- methods and applications: a state-of-art survey [M]. New York: Springer-Verlag, 1981.

[7] 江文奇.多屬性決策的組合賦權(quán)優(yōu)化方法 [J].運(yùn)籌與管理, 2006, 15(6):40-43.

[8] ANIL K A. Multi-criteria analysis in naval ship design [D]. MS Thesis, Naval Postgraduate School, Monterey, California, 2005.

[9] SHAHAK S. Naval ship concept design: an evolutionary approach [D]. MS Thesis, MIT, 1998.

[10] SATTY T L. The Analytic Hierarchy Process[M]. New York:McGraw-Hill, 1980.