劉　瑋

浪花翻滾的大海邊，皓天和鵬飛研究著曼德布羅特的《自然界中的分形幾何學》書中的幾個分形圖。

皓天感到非?？鞓罚呀?jīng)會計算分形圖的維數(shù)了?！熬拖裼嬎隳莻€鏤空三角形一樣，將量尺放大為原來的2倍，得到3個原始小三角形，那么無窮鏤空的自相似三角鏤墊的維數(shù)就是1.5850；對于那個正方形鏤墊，可將尺放大到原來的3倍，得到8個小正方形，它的維數(shù)是1.8928；那個立方體無窮鏤墊叫‘海綿，尺放大3倍后得到20個小立方體，它的維數(shù)是2.7268?！?/p>

鵬飛看到皓天搞懂了分形維數(shù)，按捺住喜悅的心情，說道：“大自然復雜著呢，處處都存在著分形，且多是不規(guī)則分形，規(guī)則分形只是一種近似！”

皓天驚詫了：“平時我們怎么沒看到那么多分形？”

鵬飛指著身旁的大海：“你看那撲打在巖石上的浪花，大浪花里有小浪花，小浪花里還有更小的浪花……我們之所以沒注意到那些分形，是因為我們都將客觀事物平滑化、理想化了，忽略了許多看來次要的因素。”

“海岸線不是圓圈，浮云也不呈球形，山峰不是錐體，樹皮不是光滑的，閃電從不沿直線行進，樹枝、河流水系分支、星系分布、大腦皮層褶皺、肺部支氣管分支及血液微循環(huán)管道等等，大自然的面貌是豐富多彩的，只有用分形去描述才最方便、最適宜。當然，這些只是空間形態(tài)上的分形，還有很多事物發(fā)展會在時間上形成分形，比如說，人口問題?！?/p>

皓天沒想到人口問題也這么復雜：“我想起一道中學數(shù)學趣題：一對成年兔子，一個月就生下一對小兔子，這一對小兔子一個月后也會生下一對小兔子，那么一年后，由那一對老兔子就能繁衍成211=2048對兔子！如果沒有人為的干涉，那么人口也是這樣增加的嗎？”

鵬飛笑了笑：“照這種算法，兩年后滿地球就都是兔子了，更不用說還有老鼠、蒼蠅、毒蛇之類，人根本沒法生存啦！這正是英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯的觀點，他認為生物是按幾何級數(shù)增加的。”

皓天也笑了起來：“對了，我從政治課上學到了19世紀初馬爾薩斯的人口論，他對自己的這個預言也很吃驚，他認為必須靠戰(zhàn)爭、瘟疫等來遏制人口增長。這個觀點顯然是錯誤的?！?/p>

鵬飛大笑道：“哈哈，荒謬！照這樣，兔子也要發(fā)動戰(zhàn)爭了！對了，今天下午科學院有個講座，我們快回去聽一聽，或許你會有所收獲?！?/p>

皓天還在追問：“我們一邊走一邊談，你告訴我，我們應該怎樣來預測人口的增長呢？”

“1845年，荷蘭數(shù)學家馮哈斯特對馬爾薩斯的人口模型作了重要修正，給出了Logistics方程。這個方程考慮到了人口的增長因素，也考慮到了制約人口增長的因素，如食物、能源等，比較合理地描述了長期人口增長的情況?！?/p>

皓天第一次聽說這個方程：“這到底是一個怎樣的方程？”

“這個方程并不神秘，就是一個簡單的二次函數(shù)：y=μx(1-x)，x為大于零小于1的數(shù)，表示某時候的人口相對數(shù)量，y表示一段時間后的人口量?！?/p>

皓天反應很快，領(lǐng)會了這個方程的意圖：“這個函數(shù)只是兩項乘積，μx表示不考慮制約人口增長因素時人口數(shù)量會按照一定比例增長，而(1-x)表示環(huán)境制約因素對人口數(shù)量的縮減。這個方程也適應于描述兔子、細菌之類的繁衍吧？”

鵬飛點點頭：“它就是種群數(shù)量預測方程，不過要長期預測,必須利用這個方程，不斷地循環(huán)迭代才能得到種群變化發(fā)展的圖線?！?/p>

皓天想起了他們一開始時討論的問題：“這與分形有什么關(guān)系？”

“對了，說了半天差點忘了主題。如果用手工去進行迭代計算的話太慢了，我們用電腦來算一算吧?！?/p>

說話間，他們已經(jīng)回到科學院，下午講座的海報已經(jīng)張貼在門口：“決定與非決定”！

他們無心細看，急忙鉆入辦公室打開電腦，輸入logistics方程，鵬飛令μ=3并給出初始的值x=0.506127，讓電腦不斷地迭代計算，再讓電腦將數(shù)據(jù)畫出圖，然后再設(shè)x=0.506，讓電腦再做一遍，在同一個圖上畫出結(jié)果。因為兩次輸入的初值幾乎相同，兩條圖線也幾乎從相同的出發(fā)點開始，但兩條圖線的差別越來越大，最終竟毫不相近，曲線的擺動也近乎是隨機的。

皓天感到非常驚訝：“真是失之毫厘，謬以千里啊！”

鵬飛提醒皓天：“將這條曲線放大，在每一小段上也是波動的，與整體的波動情況也是相似的?！?/p>

皓天似有所悟：“原來人口變化等是隨時間變化的，而且這種變化也具有自相似性，這就是時間上的分形吧？”

“時間上的分形叫混沌，當然混沌有它自己的特點，就是對初值具有高度敏感性?！?/p>

皓天：“一個簡單的二次方程迭代后就能產(chǎn)生混沌，如果是一次方程就不會這樣了?？磥?，只要是非線性方程就會產(chǎn)生混沌了。迭代本身就是一種演化，現(xiàn)實世界中線性的演化應該是很少的，平常我們用線性來說明自然界的發(fā)展變化只是一種理想化的近似……”

鵬飛露出笑容：“你的理解很正確。天氣的變化就是由復雜的非線性因素決定的典型。美國氣象學家洛倫茲教授曾感嘆道，巴西的一只蝴蝶偶然拍打翅膀，就能夠在美國產(chǎn)生龍卷風！”

皓天也被洛倫茲教授的這個比方逗笑了：“理論上會有這么嚴重！我猜那個講座與混沌有關(guān)，該休息一下準備聽下午的講座了！”