李云湯

湖南省郴州市二中 (423000)

2007年全國普通高校招生考試湖南卷文科數(shù)學第20題是一道典型的立足基礎、注重探究、考查能力的好題.該題的命制，充分體現(xiàn)了“考查基礎，注重思想方法，培養(yǎng)實際能力”的命題原則.該試題在考查學生數(shù)列基礎知識的同時，突出了對學生探究意識及創(chuàng)新精神的考查.

該試題立足基礎的一方面是：考查的基礎知識是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列前n項和與項之間的關系等高中畢業(yè)學生必須掌握的知識；另一方面考查的基本思想方法亦是高中學習階段常用的方程的思想，轉(zhuǎn)化(化歸)的思想，分類討論的思想等；第三方面是該題的綜合程度只限于“數(shù)列”這一章的基礎知識.

該題注重探究主要表現(xiàn)在第(2)小問，它要求學生通過觀察、聯(lián)想、分析、比較、歸納、概括等過程后得出所要結論.

該題彰顯能力的一方面是：考查了學生的觀察能力，邏輯推理能力，運算能力，探索能力等；另一方面是考生必須具備綜合應用這些“能力”的能力.

現(xiàn)就該題的解答及解答中常見的錯誤和它對高中教學的啟示作進一步的評述.

試題 (本小題滿分13分)設S璶是數(shù)列{a璶}(n∈N*)的前n項和，a1=a,且S2璶=3n2a璶+S2﹏-1,a璶≠0，n=2,3,4……

(1)證明：數(shù)列{a﹏+2-a璶}(n≥2)是常數(shù)列；

(2)試找出一個奇數(shù)a，使以18為首項，7為公比的等比數(shù)列{b璶}(n∈N*)中的所有項都是數(shù)列{a璶}中的項，并指出b璶是數(shù)列{a璶}中的第幾項.

解：(1)當n≥2時，由已知得S2璶-S2﹏-1=3n2a璶,∵a璶=S璶-S﹏-1≠0,∴S璶+S﹏-1=3n2①，于是S﹏+1+S璶=3(n+1)2②.②-①得a﹏+1+a璶=6n+3③.因此a﹏+2+a﹏+1=6n+9④，④-③得a﹏+2-a璶=6.故數(shù)列{a﹏+2-a璶}(n≥2)是常數(shù)列.

賞析：該小題設問的巧妙之處就在于從已知數(shù)列{a璶}中構造出一個新數(shù)列{a﹏+2-a璶}(n≥2)，然后要求考生證明這個新數(shù)列是一個常數(shù)列 ，其構思新穎、獨特，極具創(chuàng)意.而在高中數(shù)學中常數(shù)列又往往被教師和學生忽略.在證明這個結論時，要求學生有強烈的化簡意識、有較強的觀察能力、有一定的轉(zhuǎn)化化歸能力.

(2)解法一：由第(1)問中的①知S2+S1=12，又a1=a,∴a2=12-2a.由a﹏+1+a璶=6n+3，知a3+a2=15,∴a3=3+2a.

于是由第(1)問中的結論a﹏+2-a璶=6，知數(shù)列{a2k獇和{a2k+1獇分別是以a2、a3為首項，6為公差的等差數(shù)列.

所以a2k=a2+6(k-1)=6k-2a+6(k∈N*)，同理有a2k+1=6k+2a-3(k∈N*).

又b璶=18×7﹏-1為偶數(shù)，a2k+1=6k+2a-3=2(3k+a)-3為奇數(shù)，所以b璶只可能是數(shù)列{a2k獇中的項.

若b1=18是數(shù)列{a2k獇中的第m項，由18=6m-2a+6得a=3m-6，取m=3得a=3，此時a2k=6k.

由b璶=a2k，得6k=18×7﹏-1,2k=6×7﹏-1,k∈N*.從而知b璶是數(shù)列{a璶}中的第6×7﹏-1項.

解法二：由第(1)問中的結論a﹏+2-a璶=6(n≥2)和a2=12-2a,a3=3+2a知：n為大于1的奇數(shù)時，a璶=a3+(n-12-1)×6=3n-6+2a;n為偶數(shù)時，a璶=a2+(n2-1)×6=3n+6-2a.

于是a璶=a n=1，

3n+(-1)琻?(6-2a) n≥2.因為數(shù)列{b璶}(n∈N*)中的所有項都是數(shù)列{a璶}中的項，所以b璵=a璶(m∈N*)，即18?7﹎-1=3n+(-1)琻?(6-2a),令a=3得18?7﹎-1=3n，于是n=6?7﹎-1.此時b璵是數(shù)列{a璶}的第6?7﹎-1項.即b璶是數(shù)列{a璶}中的第6×7﹏-1項.

賞析：在高考閱卷過程中知該小題的得分極低，近九成的學生得分在1分以下.除了考生考試的時間因素和心理因素外，該小題立足考查學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力及探究意識.考查學生的分類討論思想(如解法一)和整體運用思想(如解法二)，而這恰恰是文科學生的弱點.本小題是一道關注學生數(shù)學活動和探究過程的好題.該小題以探索性的設問方式提問，題中沒有明確的結論，要求學生親身經(jīng)歷“觀察、聯(lián)想、分析、比較、歸納、概括”的探究過程，真可謂匠心獨運!

學生在解答該題時，主要有以下幾種錯誤.

(1)把等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式記錯：如把等比數(shù)列的通項公式寫成b璶=b1q琻等；

(2)誤認為“常數(shù)”就是零.于是在證明了a﹏+2-a璶=6后，還證明了(a﹏+3-a﹏+1)-(a﹏+2-a璶)=0;

(3)運算錯誤：如由a﹏+2+a﹏+1=6n+9輆﹏+2+a﹏+1=6(n+2)+3=6n+15等；

(4)化歸錯誤：如由a璶+a﹏-1=6n-3輆﹏+2+a璶=6(n+1)+3=6n+9等；

(5)用不完全歸納法得出的結論不加證明就作為命題的結論：如由S璶+S﹏-1=3n2和S1=a1=a分別求出a2=12-2a、a3=3+2a、a4=18-2a、…，由a4-a2=6得出a﹏+2-a璶=6(常數(shù))等；

(6)其它錯誤：如由S璶+S﹏-1=3n2軸2+S1=3×22,S3+S2=3×32,S4+S3=3×42,……，S璶+S﹏-1=3n2.然后將上面各式盲目地相加減.

教學啟示：

針對以上錯誤和這道試題得分極低這種情況，我們在今后的教學中應著重從以下幾個方面去提高學生的數(shù)學素質(zhì).

(1)注重知識和思維的發(fā)生發(fā)展過程的教學

數(shù)學教學主要是知識教學和習題教學，這兩種主要的教學內(nèi)容都應該作為過程而不是結果展現(xiàn)給學生.在知識的教學中，不僅要講概念、法則、定理、定義、公式以及思想方法的結果，更應剖析它們的文字敘述中關鍵詞的深刻涵義，更應講這些結論的形成過程及應用的條件；在習題教學中更應講如何從題設、結論的等價條件出發(fā)，做出合理的聯(lián)想、探索、猜想、轉(zhuǎn)化，更應教會學生如何挖掘易被忽視的語意信息及處于隱蔽狀態(tài)下的已知條件，在思維受阻時，如何合理改變思考方向，變換策略，另辟蹊徑，從而再達目的的思維過程.

(2)注重數(shù)學思想方法的教學

數(shù)學在培養(yǎng)和提高人的思維能力方面有著其它學科不可替代的作用.這是因為數(shù)學不僅僅是一種重要的“工具”或“方法”，更重要的是一種思維模式，表現(xiàn)為數(shù)學思想.而數(shù)學思想是數(shù)學思維活動的導向，正確的思想方法，可以引導我們不斷地探索、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展新知識，進而推動科學技術及人類社會的進步.高考數(shù)學提出“以能力立意命題”，正是為了更好地考查數(shù)學思想，促進考生數(shù)學理性思維的發(fā)展.因此，平時教學過程中，要加強研究試題解題過程的思維方法，注重不同思維方法的試題的協(xié)調(diào)和匹配，立足使學生的數(shù)學理性思維能力得到較全面的發(fā)展.

(3)重視培養(yǎng)學生的探究能力及創(chuàng)新思維能力

“探究是數(shù)學的生命線”.因此，探究性試題已成為各種考試的一個熱點問題.然而現(xiàn)行課本中的探究性問題較少，教學時，應恰當改編教科書中的傳統(tǒng)試題，設計探索性問題情境，激發(fā)學生的探索激情，培養(yǎng)學生的探索興趣；在講解探索性問題時，應重點講清思維過程，充分展示教師在解題時的探索過程，使學生從中看到巧妙而簡捷的解法來自艱苦的嘗試、猜想、碰壁，以致覺得探索并不神秘.教學中要注意傳授常用方法給學生，使學生感到解探索性問題“有法可依，有章可循”.

“問題是智慧的大門，質(zhì)疑是創(chuàng)新的起點”，教師在教學中要加強對學生理解知識時出現(xiàn)困惑的理解，要鼓勵學生大膽發(fā)表自己的見解，肯定他們的質(zhì)疑行為(哪怕是錯誤的也應給予鼓勵，然后指明錯誤所在并予以糾正)，只有以學生為主體，開發(fā)利用教材的探索性內(nèi)涵，創(chuàng)造性地使用教材，才能提高學生的探究精神和創(chuàng)新能力，才能培養(yǎng)出一批富有時代氣息的創(chuàng)新型人才!